Свойства обратной матрицы

1. Определитель обратной матрицы отличен от нуля. Произведение определителей исходной и обратной матрицы равно единице, Det(А)·Det(А ^-1) = 1.

2. Матрица, обратная по отношению к А ^-1, совпадает с исходной, (А ^-1)^-1 = А

3. Обратная матрица единственна, т.е. если для матрицы А различными методами найдены матрицы В 1 и В 2, обладающие свойствами обратной, то В 1 = В 2

4. Обратная матрица может быть вычислена через матрицу алгебраических дополнений Δ

, соответствующую

согласно выражению .

Отсюда для получения обратной матрицы методом алгебраических дополнений (один из возможных методов) можно сформулировать следующий алгоритм.

a) Вычислить определитель, .

b) Сформировать матрицу, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение соответствующего элемента исходной матрицы: .

c) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений.

d) Каждый элемент транспонированной матрицы умножить на коэффициент .

Пример. Исходная матрица . Найти обратную матрицу по приведенному правилу и доказать, что она обратная.

Решение:

Определитель исходной матрицы ,

Матрица алгебраических дополнений Δ =

Транспонированная матрица алгебраических дополнений Δ ^t= ,

Обратная матрица .

Проверка (при ручных расчетах рекомендуется делать всегда, как только будет получена обратная матрица).

Если — обратная, то справедливо выражение .

A = .

Получена единичная матрица, следовательно, расчет выполнен правильно