И. Л. Кирпикова, В. П. Обоскалов

Методы линейной алгебры в задачах
электроэнергетики

Учебное пособие

Научный редактор – профессор, д-р техн. наук А.Л. Мызин

Екатеринбург

УДК 51: 620.9 (075.8)

ББК

Авторы: И. Л. Кирпикова, В. П. Обоскалов

Методы линейной алгебры в задачах электроэнергетики: учебное пособие
/ И. Л. Кирпикова, В. П. Обоскалов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009, 157 с.

Учебное пособие предназначено для изучения одного из разделов дисциплины «Математические задачи энергетики». Рассматриваются математическая постановка, методы и алгоритмы решения некоторых задач электроэнергетики. Основное внимание уделенo проблемам решения систем уравнений узловых напряжений. Здесь в наибольшей степени проявляется алгоритмическая специфика электрических цепей – слабозаполненность матрицы проводимостей. Отсюда наиболее эффективным инструментарием является триангуляция матриц, которой в данной книге уделено достаточно большое внимание.

Предназначено для студентов очного и заочного обучения специальностей 140204 – Электрические станции, 140205 – Электроэнергетические системы и сети и
140203 – Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем. Может быть использовано студентами других электроэнергетических специальностей.

Библиогр.: 6 назв. Табл. 16 Рис. 45

УДК 51: 620.9 (075.8)

© УГТУ – УПИ», 2009

© И.Л. Кирпикова В.П. Обоскалов», 2009

Оглавление

1. Предмет и содержание курса «Математические задачи энергетики». 5

1.1. Содержание курса «Математические задачи энергетики». 5

1.2. Классы задач и математический аппарат. 5

2. Системы уравнений узловых напряжений. 9

2.1. Параметры расчетной электрической схемы.. 9

2.2. УУН для сети постоянного тока. 10

2.3. Формы записи УУН для сети переменного тока. 15

3. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. 24

3.1. Понятие о матрицах и матричных операциях. 24

3.2. Обратная матрица. 28

3.3. Матричная запись СЛУ.. 30

3.4. Прямые методы решения СЛУ.. 31

3.5. Метод Гаусса. 33

4. Триангуляция квадратной матрицы.. 36

4.1. Алгоритм триангуляции. 36

4.2. Вычисление определителя. 40

4.3. Расчет обратной матрицы методом триангуляции. 41

4.4. Вычисление обратной матрицы методом матричных преобразований. 42

4.5. Преобразования Гаусса с выбором главного элемента. 43

4.6. Учет слабой степени заполненности матрицы проводимостей. 45

4.7. Метод электрических преобразований. 48

4.8. Решение систем уравнений с прямоугольной матрицей коэффициентов. 51

5. Итерационные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений. 53

5.1. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации. 53

5.2. Метод Зейделя-Гаусса. 55

5.3. Ускоренный метод Зейделя-Гаусса. 56

6. Решение систем нелинейных уравнений. 57

6.1. Метод Ньютона (касательных). 58

6.2. Методы простой итерации и Зейделя-Гаусса. 62

6.3. Критерий окончания расчета при применении итерационных методов. 66

7. Линейные пространства. 67

7.1. Основные понятия и определения. 67

7.2. Преобразование координат при изменении базиса. 73

7.3. Геометрический смысл определителя матрицы.. 74

7.4. Ортонормированность базиса. 77

7.5. Собственные числа и собственные вектора. 78

7.6. Преобразование подобия. 82

7.7. Норма матрицы.. 84

7.8. Обособленность матрицы и точность решения СЛУ.. 86

7.9. Оценка сходимости итерационного процесса решения СЛУ.. 87

7.10. Дифференциальные уравнения и методы их решения. 88

8. Линейное программирование. 97

8.1. Математическое программирование. 97

8.2. Стандартная форма задачи линейного программирования. 100

8.3. «Симплекс–метод» решения задачи ЛП.. 102

8.4. Пример задачи линейного программирования. 108

8.5. Геометрическая интерпретация решения СЗЛП.. 112

8.6. Приведение задачи к стандартной форме. 114

8.7. Получение начального плана. 115

8.8. Двойственная задача линейного программирования. 117

8.9. Транспортная задача. 124

8.10. Целочисленное линейное программирование. 136

9. Нелинейное программирование. 137

9.1. Общая задача нелинейного программирования. 137

9.2. Метод множителей Лагранжа. 139

9.3. Изменение роли переменных x и u в функции Лагранжа. 145

9.4. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных функций. 146

9.5. Применение нелинейного программирования для решения СНУ.. 150

9.6. Направление движения. 151

9.7. Способы задания длины шага. 153

9.8. Пример решения УУН методами нелинейного программирования. 155

Библиографический список. 157

1. Предмет и содержание курса «Математические задачи энергетики».

1.1. Содержание курса «Математические задачи энергетики»

Основное содержание курса «Математические задачи энергетики» (МЗЭ) включает математическую постановку и основные методы решения важнейших задач электроэнергетики среди которых выделяются задачи управления развитием и функционированием электроэнергетических систем (ЭЭС). Здесь рассматриваются подзадачи физико-математического характера, осмысливаются результаты их решения, вырабатываются и реализуются те или иные управляющие воздействия, производится анализ существующих математических методов на адекватность при описании реальных энергетических объектов и процессов, корректируются существующие и обсуждаются новые математические методы, процедуры, алгоритмы, программы.

Данный процесс требует от инженера-электрика постоянного совершенствования математической базы, необходимой при изучении новых расчетных процедур, пакетов программ (электроэнергетическое программное обеспечение, пакеты общего пользования MathCad, AutoCad, MatLab, Excel, Access и др.).

При написании данного пособия авторы рассчитывали, что читатель знаком с основами высшей математики и теоретической электротехники.