Численные методы

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(5.1)

Требуется найти решение у= у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

у(х₀) = у₀ (5.2)

Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл решения этой задачи состоит в нахождении интегральной кривой у=у(х), проходящей через заданную точку А₀ (х₀, у₀).

Рисунок 5.1. - Интегральная кривая у=у(х),

Численное решение задачи Коши состоит в нахождении значений у₁, у₂, у₃, ….у_n в точках , , …, отрезка [a, b], где h - шаг интегрирования, х₀ = a, х_n = b.

Нанеся точки (х₀, у₀), (х₁, у₁), …(х_n, у_n) на координатную плоскость и соединив их отрезками ломаной прямой, получим ломаную линию, называемую ломаной Эйлера – приближенное изображение интегральной кривой (рис.5.2).

Рисунок 5.2 - Ломаная Эйлера.

Метод Эйлера, простейший и сравнительно грубый численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, применяется в основном для ориентировочных расчетов.

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

c начальными условиями y(x₀)=y₀; z(x₀)=z₀.

Приближенные значения y(x_i)≈ y_i; z(x_i)≈ z_i находится по формулам:

y_i+1=y_i+Δ y_i; z_i+1=z_i+Δ z_i,

где Δ y_i=hf₁(x_i, y_i, z_i); Δ z_i=hf₂(x_i, y_i, z_i) (i=0, 1, 2, …)

Метод Эйлера обладает малой точностью и дает сравнительно удовлетворительные результаты (в смысле погрешности) лишь при малых значениях h. Так как по существу метод Эйлера заключается в том, что интеграл дифференциального уравнения на каждом частичном отрезке [x_i, x_i+1] представляется двумя членами ряда Тейлора

y(x_i +h)=y(x_i)+hy’(x_i) (i=0, 1, 2,...),

т.е. для этого отрезка имеется погрешность порядка h².

Кроме того, при вычислении значений на следующем отрезке исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений. К недостаткам метода следует отнести малую точность и систематическое накопление ошибок.