Вероятностей составляющих результирующей погрешности

Крайним случаем суммирования погрешностей является случай суммирования полностью коррелированных погрешностей. В этом случае законы распределения суммируемых погрешностей вследствие их полной корреляции совпадают между собой. Распределение суммарной погрешности подчиняется тому же самому закону. Поэтому она определяется как

(6.14.1)

По мере уменьшения корреляции суммарная погрешность становится меньше , и это уменьшение зависит от вида законов распределения суммируемых и результирующей погрешностей согласно выражениям (6.11.3), (6.12.11) и (6.13.8).

Наименьшее значение погрешности получается в случае суммирования независимых погрешностей, распределенных по нормальному закону. Для этого случая справедливо соотношение

(6.14.2)

Оно представляет собой другой крайний случай.

Зависимость числа различимых градаций А ₁для первого случая и А ₂для второго от соотношения двух суммируемых составляющих приведена в табл. 6.14.1. По данным этой таблицы на рис. 6.14.1 изображены кривые зависимости результирующего значения А от соотношения составляющих погрешности. Кривая 1 соответствует арифметическому суммированию погрешностей, а кривая 2 – геометрическому.

Кривая 3 на рис. 6.14.1 считается средним, наиболее типичным случаем суммирования составляющих погрешностей измерительных устройств. Кривые же 1 и 2, соответствующие арифметическому и геометрическому суммированиям погрешностей, являются границами области, в которой будут проходить кривые значений А при любых произвольных законах распределения вероятностей и различ­ной степени корреляционной связи составляющих погрешности. Так, например, при суммировании двух независимых составляющих, одна из которых распределена нормально, а другая – равномерно, кривая числа градаций А (кривая 4) вначале совпадает с кривой 3, а затем плавно переходит в кривую 2.

Для оценки величины допускаемых ошибок при арифметическом или геометрическом суммировании составляющих в последних столбцах табл. 6.14.1 приведены относительные погрешности определения значений А (в процентах) для граничных кривых 1 и 2 относительно средней кривой 3.Видно, что эти погрешности противоположны по знаку, а по абсолютной величине примерно одинаковы и достигают максимума, составляющего 17 %, при равенстве обеих суммируемых составляющих. С первого взгляда напрашивается вывод о том, что вопрос об учете корреляции и законов распределения вероятностей при суммировании погрешностей не заслуживает внимания, так как максимальное отклонение кривых 1 или 2 от кривой 3 составляет всего ±17%, т.е. допускаемая ошибка в значении определяемой суммарной погрешности не превосходит ее величины.

Таблица 6.14.1

		А 1		А 2	, %	, %
		0, 89				-1
		1, 96			+2	-1
		4, 75			+2	-3
		9, 09			+5	-4, 3
		16, 7	5, 1	19, 6	+9	-7, 2
		33, 3	2, 24	44, 6	+14, 3	-14, 5
			1, 41	70, 7	+16, 8	-17, 3
0, 5	1, 5		1, 12	89, 5	+14, 8	-14
0, 2	1, 2		1, 02		+9	-7, 8
0, 1	1, 1		1, 005	99, 5	+4, 7	-4, 2
0, 05	1, 05		1, 00		+2, 6	-2, 5
0, 02	1, 02		1, 00		+1	-1
0, 01	1, 01		1, 00			-1

Рис. 6.14.1. Зависимости результирующего значения А от соотношения

составляющих погрешности

В действительности это не так. Во-первых, указанная ошибка при суммировании двух составляющих вычислена относительно среднего, т.е. кривой 3 рис. 6.14.1. Если же эту ошибку определять относительно простого арифметического суммирования, то она при суммировании двух составляющих может достигать 41%, т.е. почти половины определяемой погрешности.

Во-вторых, при суммировании большого числа составляющих ошибка результата увеличивается с ростом числа этих составляющих. Например, при суммировании примерно одинаковых п составляющих относительная ошибка при арифметическом суммировании по сравнению с ошибкой при геометрическом суммировании возрастает раз.

Таким образом, если при суммировании всего двух составляющих ошибка в определении результирующей погрешности может достигать ¸ ее величины, то при суммировании 10¸ 20 составляющих результирующая погрешность может быть завышена в 2¸ 4 раза, а при суммировании 50 составляющих – в 3¸ 7 раз.

Поэтому в настоящее время в подавляющем большинстве случаев оценка измерительных систем и приборов производится путем арифметического сложения максимальных значений всех погрешностей. Это приводит к неправильной их оценке, отличающейся от действительной от 2 до 7 раз, и тем более неправильной, чем сложнее рассматриваемое устройство. Поэтому при анализе сложных измерительных устройств вопрос об учете корреляционных связей и законов распределения вероятностей составляющих действительно имеет существенное значение.

Формула (6.11.3) для суммирования независимых составляющих погрешности с учетом энтропийных коэффициентов каждой из составляющих и суммарного распределения решает этот вопрос для любых законов распределения и любого числа составляющих.

Используя метод, основанный на исходных положениях теории информации, можно всегда произвести достаточно точное суммирование составляющих и определить действительное энтропийное значение результирующей погрешности измерительного устройства, не прибегая к грубейшему методу арифметического сложения максимальных значений составляющих.

ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П. 1. Процентные точки распределения Стьюдента
k	Значения t a, удовлетворяющие равенству при различных значениях a
	0, 45	0, 4	0, 35	0, 3	0, 25	0, 2	0, 15	0, 1	0, 05	0, 025	0, 01	0, 005	0, 0005
	0, 158	0, 325	0, 510	0, 727	1, 000	1, 376	1, 963	3, 078	6, 314	12, 706	31, 821	63, 657	636, 619
	0, 142	0, 289	0, 445	0, 617	0, 816	1, 061	1, 356	1, 886	2, 920	4, 303	6, 965	9, 965	31, 598
	0, 137	0, 277	0, 424	0, 584	0, 765	0, 978	1, 250	1, 638	2, 353	3, 181	4, 541	5, 841	12, 941
	0, 134	0, 271	0, 414	0, 569	0, 741	0, 941	1, 190	1, 533	2, 132	2, 776	3, 747	4, 604	8, 610
	0, 132	0, 267	0, 408	0, 559	0, 727	0, 920	1, 156	1, 476	2, 015	2, 571	3, 365	4, 032	6, 869
	0, 131	0, 265	0, 404	0, 553	0, 718	0, 906	1, 134	1, 440	1, 943	2, 447	3, 143	3, 707	5, 959
	0, 130	0, 263	0, 402	0, 549	0, 711	0, 896	1, 119	1, 415	1, 895	2, 365	2, 998	3, 499	5, 405
	0, 130	0, 262	0, 399	0, 546	0, 706	0, 889	1, 108	1, 397	1.860	2, 306	2, 896	3, 355	5, 041
	0, 129	0, 261	0, 398	0, 543	0, 703	0, 883	1, 100	1, 383	1, 833	2, 262	2, 821	3, 250	4, 781
	0, 129	0, 260	0, 397	0, 542	0, 700	0, 879	1, 093	1, 372	1, 812	2, 228	2, 764	3, 169	4, 587
	0, 128	0, 259	0, 395	0, 539	0, 695	0, 873	1, 083	1, 356	1, 782	2, 179	2, 681	3, 055	4, 318
	0, 128	0, 258	0, 393	0, 537	0, 692	0, 868	1, 076	1, 345	1, 761	2, 145	2, 624	2, 977	4, 140
	0, 128	0, 258	0, 392	0, 535	0, 690	0, 865	1, 071	1, 337	1, 746	2, 120	2, 583	2, 921	4, 015
	0, 127	0, 257	0, 392	0, 534	0, 688	0, 862	1, 067	1, 330	1, 734	2, 101	2, 552	2, 878	3, 922
	0, 127	0, 257	0, 391	0, 533	0, 687	0, 860	1, 064	1, 325	1, 725	2, 086	2, 528	2, 845	3, 850
	0, 127	0, 256	0, 390	0, 531	0, 684	0, 856	1, 058	1, 316	1, 708	2, 060	2, 485	2, 787	3, 725
	0, 126	0, 256	0, 389	0, 530	0, 683	0, 854	1, 055	1, 310	1, 697	2, 042	2, 457	2, 750	3, 646
	0, 126	0, 254	0, 387	0, 527	0, 679	0, 848	1, 046	1, 296	1, 671	2, 000	2, 390	2, 660	3, 460
¥	0, 126	0, 253	0, 385	0, 524	0, 674	0, 842	1, 036	1, 282	1, 645	1, 960	2, 326	2, 576	3, 291

Таблица П. 2. Процентные точки -распределения

k	Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях a
0, 999	0, 995	0, 99	0, 98	0, 975	0, 95	0, 90	0, 80	0, 75	0, 70
	0, 000002	0, 00004	0, 00016	0, 00063	0, 00098	0, 00393	0, 0158	0, 0642	0, 102	0, 148
	0, 00200	0, 0100	0, 0201	0, 0404	0, 0506	0, 103	0, 211	0, 446	0, 575	0, 713
	0, 0243	0, 0717	0, 115	0, 185	0, 216	0, 352	0, 584	1, 005	1, 213	1, 424
	0, 0908	0, 207	0, 297	0, 429	0, 484	0, 711	1, 064	1, 649	1, 923	2, 195
	0, 210	0, 412	0, 554	0, 752	0, 831	1, 145	1, 610	2, 343	2, 675	3, 000
	0, 381	0, 676	0, 872	1, 134	1, 237	1, 635	2, 204	3, 070	3, 455	3, 828
	0, 598	0, 989	1, 239	1, 564	1, 690	2, 167	2, 833	3, 822	4, 255	4, 671
	0, 857	1, 344	1, 646	2, 032	2, 180	2, 733	3, 490	4, 594	5, 071	5, 527
	1, 152	1, 735	2, 088	2, 532	2, 700	3, 325	4, 168	5, 380	6, 899	6, 393
	1, 479	2, 156	2, 558	3, 059	3, 247	3, 940	4, 865	6, 179	6, 737	7, 267
	1, 834	2, 603	3, 053	3, 609	3, 816	4, 575	5, 578	6, 989	7, 584	8, 148
	2, 214	3, 074	3, 571	4, 178	4, 404	5, 226	6, 304	7, 807	8, 438	9, 034
	2, 617	3, 565	4, 107	4, 765	5, 009	5, 892	7, 042	8, 634	9, 299	9, 926
	3, 041	4, 075	4, 660	5, 368	5, 629	6, 571	7, 790	9, 467	10, 165	10, 821
	3, 483	4, 601	5, 229	5, 985	6, 262	7, 261	8, 547	10, 307	11, 036	11, 721
	3, 942	5, 142	5, 812	6, 614	6, 908	7, 962	9, 312	11, 152	11, 912	12, 624
	4, 416	5, 697	6, 408	7, 255	7, 564	8, 672	10, 085	12, 002	12, 792	13, 531
	4, 905	6, 265	7, 015	7, 906	8, 231	9, 390	10, 865	12, 857	13, 675	14, 440

Продолжение таблицы П. 2

k	Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях a
0, 999	0, 995	0, 99	0, 98	0, 975	0, 95	0, 90	0, 80	0, 75	0, 70
	5, 407	6, 844	7, 633	8, 567	8, 907	10, 117	11, 651	13, 716	14, 562	15, 352
	5, 921	7, 434	8, 260	9, 237	9, 591	10, 851	12, 443	14, 578	15, 452	16, 266
	6, 447	8, 034	8, 897	9, 915	10, 283	11, 591	13, 240	15, 445	16, 344	17, 182
	6, 983	8, 643	9, 542	10, 600	10, 982	12, 338	14, 041	16, 314	17, 240	18, 101
	7, 529	9, 260	10, 196	11, 293	11, 688	13, 091	14, 848	17, 187	18, 137	19, 021
	8, 085	9, 886	10, 856	11, 992	12, 401	13, 848	15, 659	18, 062	19, 037	19, 943
	8, 649	10, 520	11, 524	12, 697	13, 120	14, 611	16, 473	18, 940	19, 939	20, 867
	9, 222	11, 160	12, 198	13, 409	13, 844	15, 379	17, 292	19, 820	20, 843	21, 792
	9, 803	11, 808	12, 879	14, 125	14, 573	16, 151	18, 114	20, 703	21, 749	22, 719
	10, 391	12, 461	13, 565	14, 847	15, 308	16, 928	18, 939	21, 588	22, 657	23, 647
	10, 986	13, 121	14, 256	15, 574	16, 047	17, 708	19, 768	22, 475	23, 567	24, 577
	11, 588	13, 787	14, 953	16, 306	16, 791	18, 493	20, 599	23, 364	24, 478	25, 508

Продолжение таблицы П. 2

k	Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях a
0, 50	0, 30	0, 25	0, 20	0, 10	0, 05	0, 025	0, 02	0, 01	0, 005	0, 001
	0, 455	1, 074	1, 323	1, 642	2, 706	3, 841	5, 024	5, 412	6, 635	7, 879	10, 827
	1, 386	2, 408	2, 773	3, 219	4, 605	5, 991	7, 378	7, 824	9, 210	10, 597	13, 815
	2, 366	3, 665	4, 108	4, 642	6, 251	7, 815	9, 348	9, 837	11, 345	12, 838	16, 268
	3, 357	4, 878	5, 385	5, 989	7, 779	9, 488	11, 143	11, 668	13, 277	14, 860	18, 465
	4, 351	6, 064	6, 626	7, 289	9, 236	11, 070	12, 832	13, 388	15, 086	16, 750	20, 517
	5, 348	7, 231	7, 841	8, 558	10, 645	12, 592	14, 449	15, 033	16, 812	18, 548	22, 457
	6, 346	8, 383	9, 037	9, 803	12, 017	14, 067	16, 013	16, 622	18, 475	20, 278	24, 322
	7, 344	9, 524	10, 219	11, 030	13, 362	15, 507	17, 535	18, 168	20, 090	21, 955	26, 125
	8, 343	10, 656	11, 389	12, 242	14, 684	16, 919	19, 023	19, 679	21, 666	23, 589	27, 877
	9, 342	11, 781	12, 549	13, 442	15, 987	18, 307	20, 483	21, 161	23, 209	25, 188	29, 588
	10, 341	12, 899	13, 701	14, 631	17, 275	19, 675	21, 920	22, 618	24, 725	26, 757	31, 264
	11, 340	14, 011	14, 845	15, 812	18, 549	21, 026	23, 337	24, 054	26, 217	28, 300	32, 909
	12, 340	15, 119	15, 984	16, 985	19, 812	22, 362	24, 736	25, 472	26, 688	29, 819	34, 528
	13, 339	16, 222	17, 117	18, 151	21, 064	23, 685	26, 119	26, 873	29, 141	31, 319	36, 123
	14, 339	17, 322	18, 245	19, 311	22, 307	24, 996	27, 488	28, 259	30, 578	32, 801	37, 697
	15, 338	18, 418	19, 369	20, 465	23, 542	26, 296	28, 845	29, 633	32, 000	34, 267	39, 252
	16, 338	19, 511	20, 489	21, 615	24, 769	27, 587	30, 191	30, 995	33, 409	35, 718	40, 790
	17, 338	20, 601	21, 605	22, 760	25, 989	28, 869	31, 526	32, 346	34, 805	37, 156	42, 312

Продолжение таблицы П. 2

k	Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях a
0, 50	0, 30	0, 25	0, 20	0, 10	0, 05	0, 025	0, 02	0, 01	0, 005	0, 001
	18, 338	21, 689	22, 718	23, 900	27, 204	30, 144	32, 852	33, 687	36, 191	38, 582	43, 820
	19, 337	22, 775	23, 828	25, 038	28, 412	31, 410	34, 170	35, 020	37, 566	39, 997	45, 315
	20, 337	23, 858	24, 935	26, 171	29, 615	32, 671	35, 479	36, 343	38, 932	41, 401	46, 797
	21, 337	24, 939	26, 039	27, 301	30, 813	33, 924	36, 781	37, 659	40, 289	42, 796	48, 268
	22, 337	26, 018	27, 141	28, 429	32, 007	35, 172	38, 076	38, 968	41, 638	44, 181	49, 728
	23, 337	27, 096	28, 241	29, 553	33, 196	36, 415	39, 364	40, 270	42, 980	45, 558	51, 179
	24, 337	28, 172	29, 339	30, 675	34, 382	37, 652	40, 646	41, 566	44, 314	46, 928	52, 620
	25, 336	29, 246	30, 434	31, 795	35, 563	38, 885	41, 923	42, 856	45, 642	48, 290	54, 052
	26, 336	30, 319	31, 528	32, 912	36, 741	40, 113	43, 194	44, 140	46, 963	49, 645	55, 476
	27, 336	31, 391	32, 620	34, 027	37, 916	41, 337	44, 461	45, 419	48, 278	50, 993	56, 893
	28, 336	32, 461	33, 711	35, 139	39, 087	42, 557	45, 722	46, 693	49, 588	52, 336	58, 302
	29, 336	33, 530	34, 800	36, 250	40, 256	43, 773	46, 979	47, 962	50, 892	53, 672	59, 703

Таблица П. 3. Процентные точки -распределения

Число наблюдений	Процентные точки -распределения при различных уровнях значимости a, %
0, 1	0, 5
	1, 414	1, 414	1, 414	1, 414	1, 412
	1, 732	1, 730	1, 728	1, 710	1, 689
	1, 994	1, 982	1, 972	1, 917	1, 869
	2, 212	2, 183	2, 161	2, 067	1, 996
	2, 395	2, 344	2, 310	2, 182	2, 093
	2, 547	2, 476	2, 431	2, 273	2, 172
	2, 677	2, 586	2, 532	2, 349	2, 238
	2, 788	2, 680	2, 616	2, 414	2, 294
	2, 884	2, 760	2, 689	2, 470	2, 343
	2, 969	2, 830	2, 753	2, 519	2, 387
	3, 044	2, 892	2, 809	2, 563	2, 426
	3, 111	2, 947	2, 859	2, 602	2, 461
	3, 171	2, 997	2, 905	2, 638	2, 494
	3, 225	3, 042	2, 946	2, 670	2, 523
	3, 274	3, 083	2, 983	2, 701	2, 551
	3, 320	3, 120	3, 017	2, 728	2, 577
	3, 361	3, 155	3, 049	2, 754	2, 601
	3, 400	3, 187	3, 079	2, 779	2, 623
	3, 436	3, 217	3, 106	2, 801	2, 644
	3, 469	3, 245	3, 132	2, 823	2, 664
	3, 500	3, 271	3, 156	2, 843	2, 683
	3, 529	3, 295	3, 179	2, 862	2, 701
	3, 556	3, 318	3, 200	2, 880	2, 718
	3, 582	3, 340	3, 220	2, 897	2, 734
	3, 606	3, 360	3, 239	2, 913	2, 749
	3, 629	3, 380	3, 258	2, 929	2, 764
	3, 651	3, 399	3, 275	2, 944	2, 778
	3, 672	3, 416	3, 291	2, 958	2, 792
	3, 692	3, 433	3, 307	2, 972	2, 805
	3, 711	3, 449	3, 322	2, 985	2, 818
	3, 729	3, 465	3, 337	2, 998	2, 830
	3, 746	3, 480	3, 351	3, 010	2, 842
	3, 762	3, 494	3, 364	3, 022	2, 853

Продолжение табл. П. 3

Число наблюдений	Процентные точки -распределения при различных уровнях значимости a, %
0, 1	0, 5
	3, 778	3, 507	3, 377	3, 033	2, 864
	3, 793	3, 521	3, 389	3, 044	2, 874
	3, 808	3, 533	3, 401	3, 055	2, 885
	3, 822	3, 545	3, 413	3, 065	2, 894
	3, 835	3, 557	3, 424	3, 075	2, 904
	3, 848	3, 568	3, 435	3, 084	2, 913
	3, 861	3, 579	3, 445	3, 094	2, 922
	3, 873	3, 590	3, 455	3, 103	2, 931
	3, 885	3, 600	3, 465	3, 112	2, 940
	3, 896	3, 610	3, 474	3, 120	2, 948
	3, 907	3, 620	3, 483	3, 129	2, 956
	3, 918	3, 630	3, 492	3, 137	2, 964
	3, 928	3, 639	3, 501	3, 145	2, 972
	3, 938	3, 648	3, 510	3, 152	2, 980
	3, 948	3, 656	3, 518	3, 160	2, 987
	3, 957	3, 665	3, 526	3, 167	2, 994
	3, 966	3, 673	3, 534	3, 175	3, 001

Таблица П. 4. Значения (верхние значения) и (нижние значения) для различных степеней свободы f ₁ и f ₂

Продолжение таблицы П. 4

Таблица П. 5. Значения (верхняя строчка) и (нижняя строчка) (критерий Кохрена) для различных количеств (k)