Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений






Из всех вопросов темы 1.8 изучается вопрос «Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка».

 

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно " Методическим указаниям к выполнению контрольной работы".

 

1.8.1. Решение задачи Коши методом Эйлера

Пусть требуется найти на отрезке [ a, b ] решение дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

с начальным условием

(2)

(задача Коши). Для этого отрезок, на котором ищется решение задачи, разбивают на частей с шагом и находят значения в точках . Очевидно, что при этом . Значения определяют по формуле

. (3)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет , где .

Пример. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0, 2; 1, 2] с шагом 0, 1. Уравнение:

,

начальное условие: .

 

○ Для численного решения заданного уравнения вида (1) с начальным условием (2) нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

; . Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (3) . Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k= 1).

.

Вычислим .

Тогда и . И т.д.

 

 

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы 1.

Таблица 1.

  0, 2 0, 25 0, 6513 0, 0651 0, 3151
  0, 3 0, 3151 0, 7784 0, 0778 0, 3929
  0, 4 0, 3929 0, 9316 0, 0932 0, 4861
  0, 5 0, 4861 1, 1160 0, 1116 0, 5977
  0, 6 0, 5977 1, 3371 0, 1337 0, 7314
  0, 7 0, 7314 1, 6019 0, 1602 0, 8916
  0, 8 0, 8916 1, 9184 0, 1918 1, 0835
  0, 9 1, 0835 2, 2962 0, 2296 1, 3131
  1, 0 1, 3131 2, 7466 0, 2747 1, 5878
  1, 1 1, 5878 3, 2829 0, 3283 1, 9161
  1, 2 1, 9161 3, 2912 0, 3291 2, 3081

Т.о., задача решена. ●

 

Естественно, процесс вычислений проще организовать в табличном процессоре Excel (Табл.2).

 


 

Таблица 2.

 

Решение находятся в ячейках (k = 0, 1, …, 10). Значения из столбца F переносятся в столбец С со сдвигом на единицу (например, из F6 в С7 и т.д.). Таблица в режиме показа формул – (табл.3).

Таблица 3.

 

Вопросы для самопроверки по теме 1.8

 

1. В чём состоит задача Коши?

2. Напишите расчётную формулу метода Эйлера при решении дифференциального уравнения 1-го порядка и формулу оценки погрешности на каждом шаге.

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.