Понятие о среднегеометрическом корне Ω0. Мажоранта и миноранта переходной функции

Пусть имеем характеристическое уравнение:

a ₀ sⁿ + a ₁ s^{n − 1}+…+ a_{n − 1} s + a_n =0.

Приведем его к нормированному виду (разделим на a_n и выполним подстановку ):

qⁿ + a ₁/ a_n (Ω ₀ q) ^{n − 1}+…+ a_k / a_n (Ω ₀ q) ^{n − k} +…+1=0,

где: – среднегеометрический корень.

Для статических САР a_n =1+ K, для астатических a_n = K, a ₀= T ₁ T ₂… T_n; следовательно увеличивая K можно увеличитьΩ ₀. На основании теоремы подобия увеличение Ω ₀ вызовет пропорциональное радиальное смещение корней. Т.е. вид переходного процесса меняться не будет, но будет меняться его временной масштаб. Поэтому среднегеометрический корень Ω ₀ является мерой быстродействия.

Для приведенного характеристического уравнения время будет безразмерным τ =Ω ₀ t, переходная функция h (t) в случае кратных вещественных корней или одной пары комплексных будет ограничена минорантой и мажорантой:

1− υ (η, t)< h (t)< 1+υ (η, t),

где: υ (η, t)= e ^{− η t} [1+(η t)¹/1! +(η t)²/2! +…+(η t) ^{n − 1}/(n − 1)! ] – разложение в ряд Тейлора огибающей той составляющей в переходном процессе, корень которой ближе к оси " + j ".

На рис. демонстрируется, что любой переходный процесс в любой системе будет затухать тем медленней, чем больше корней вблизи оси " + j ".