Модуль 2. Случайные величины

11.15. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения x_i, а по оси ординат—соответствующие вероятности р_i.

Построим точки M₁(1; 0, 2), M₂ (3; 0, 1), M₃ (6; 0, 4) и M₄ (8; 0, 3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.

11.16. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а) X - 4 6 10

р 0, 2 0, 3 0, 5 •

Решение Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности:

М (X) = ~ 4 0, 2 + 6 0, 3 +10 0, 5 = 6.

(М (X) = X₁P₁ + X₂P₂+ *.. +Х_пР_п).

11.17. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X —5 2 3 4

р 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2

Решение. Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

Найдем математическое ожидание X:

М (X) = —5.0.4 + 2 0. 3 + 3.0.14-4.0.2 = –.0, 3.

Напишем закон распределения Х²:

Х² 25 4 9 16

р 0, 4 0, 3 0.1 0, 2

Найдем математическое ожидание Х:

M(Х²)=25*0, 4 + 4*0, 3 + 9*0, 1 + 16*0, 2=15, 3,

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = M(Х2)— [M(X)]2 = 15, 3—(—0, 3)2 ==15, 21.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

(X) == = =3, 9

11.18. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X 2 4 7

Р 0, 5 0, 2 0, 3

Найти функцию распределения F (х) и начертить ее график.

Решение.

1. Если x 2, то р(х)=0. Действительно, значений, меньших числа 2, величина X не принимает. Следовательно,

при x 2 функция F(x)=: P (X < 2) = 0.

2. Если 2 < x 4, то F(x) = 0, 5. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0, 5.

3. Если 4 < x 7, то F(x)=0, 7. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0, 5 и значение 4 с вероятностью 0, 2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0, 5 + 0, 2 = 0, 7.

4. Если x > 7, то F(х) = 1. Действительно, событие Х< 7 достоверно

и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

F(x)=

11.19. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

F {х) =

Найти плотность распределения f(x).

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

f {х) =

Заметим, что при х=0 производная F' (x) не существует.

11.20 Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

f(x)=

Найти функцию распределения F{x).

Решение, Используем формулу

Если х < 0, то f{x)=0, следовательно,

Если , то

Если , то

Итак, искомая функция распределения

268.