Часть 5. Случайные процессы

Задача 5.1. Система имеет три состояния. Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найти стационарное распределение. λ _ij – плотности перехода.

Задача 5.2. Дана корреляционная функция и математическое ожидание случайного процесса ξ (t). Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и дисперсию случайного процесса η (t).

№ варианта	Kξ (t1, t2)	Мξ (t)	η (t)
	sin3t1 sin3t2	e2t	td(ξ (t)+cost)/dt
	cos2t1 cos2t2	sin3t
	2t13 t23		costdξ /dt+ e2t
		cos5t	t3 sin3t ξ (t)+ cost
	sin5t1 sin5t2	t3
	3cos5t1 cos5t2	e3t
	+ sint1 sint2	t5	t2 cos4t ξ (t)+ e3t
	t14 t24	sin2t
	2	cos3t	sint (ξ (t)+t)
	t13 t23+ cos3t1 cos3t2	et
	2cos3t1 cos3t2	e5t	td(ξ (t)+cost)/dt
	sin6t1 sin6t2
	5t13 t23 +	sin4t	costdξ /dt+ e2t
	3	cos4t	t2 sin3t ξ (t)+t5
	sin5t1 sin5t2+ t1 t2	t3
	3cos5t1 cos5t2	e2t
	5 sin7t1 sin7t2	t5	t cos2t ξ (t)+ et
	t14 t24+	sin2t
	7	t2	sint ξ (t)+cost
	5 cos3t1 cos3t2	e3t
	9t1 t2	e2t	t2d(ξ (t)+sint)/dt
	cos2t1 cos2t2	cos4t
	2t13 t23+ sint1 sint2		costdξ /dt+ e2t
		sin5t	t3 ξ (t)+t cost
	sin5t1 sin5t2	t2
	4cos2t1 cos2t2	e3t
	+ sint1 sint2	cos4t	t cos4t ξ (t)+ e3t
	t14 t24	sin3t	t
	2	cos6t	sint (ξ (t)+t2)
	t13 t23+ cos3t1 cos3t2	e2t	t2

Задача 5.3. Найти корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса ξ (t), если он задан каноническим разложением. Дисперсии случайных величин D ξ _i = D_i.

№ варианта	ξ (t)	D1	D2	D3
	ξ 1 sinω t+ ξ 2 cosω t+i ξ 3t3
2	ξ 1 e3it + ξ 2 e-3it + ξ 3t2
3	iξ 1 sin2t+ ξ 2 + ξ 3t4
4	3ξ 1 t+ ξ 2 cos5t+i ξ 3t2
5	ξ 1 sinω t+ ξ 2 cosω t+2i ξ 3t5
6	ξ 1 e4it + ξ 2 e-4it + ξ 3 cosω t
7	ξ 1 e3t +5i ξ 2 t + ξ 3
8	ξ 1 sin2t+ iξ 2 cos3t+ ξ 3t2
9	ξ 1 e5it + ξ 2 t3+ ξ 3 sinω t
10	ξ 1 + ξ 2 te2t + 3iξ 3cost
11	ξ 1 sinω t+ ξ 2 cosω t+2i ξ 3t4
12	ξ 1 e5it + ξ 2 e-5it + ξ 3t4
13	iξ 1 cos2t+ ξ 2 + ξ 3t5
14	4ξ 1 t2+ ξ 2 sin5t+i ξ 3t
15	ξ 1 sinω t+ ξ 2 cosω t+2i ξ 3t6
16	ξ 1 e7it + ξ 2 e-7it + ξ 3 cos2t
17	ξ 1 e2t +5i ξ 2 t5 + ξ 3
18	ξ 1 sint+ iξ 2 cos4t+ ξ 3t3
19	ξ 1 e4it + ξ 2 t7+ ξ 3 cosω t
20	ξ 1 + ξ 2 te2t + 3iξ 3sint
21	ξ 1 sinω t+ ξ 2 cosω t+ie2t
22	ξ 1 e3it + ξ 2 e-3it + ξ 3tcost
23	2iξ 1 t+ ξ 2 + ξ 3t4sint
24	5ξ 1 t3+ ξ 2 cos2t+i ξ 3t6
25	ξ 1 sinω t+ ξ 2 cosω t+3i ξ 3t3
26	ξ 1 e4it + ξ 2 e-4it + ξ 3 tcos8t
27	ξ 1 te3t +5i ξ 2 t + ξ 3
28	ξ 1 sint+ iξ 2 cos4t+ ξ 3t4
29	ξ 1 e5it +i ξ 2 t3+ ξ 3 cos2t
30	ξ 1 + ξ 2 te2t + 3iξ 3sin2t

Задача 5.4. Найти одностороннюю S(ω) и двустороннюю S^*(ω) спектральную плотность стационарного случайного процесса с корреляционной функцией

Задача 5.5. Работа динамической системы описывается уравнением . На вход системы поступает стационарный процесс ξ (t) с корреляционной функцией . Найти дисперсию процесса на выходе системы.