Оценка генеральной средней

Пусть задана генеральная совокупность объектов, для которой фиксирован некоторой числовой признак . Требуется оценить среднее значение признака в генеральной совокупности – генеральную среднюю . Для этого из генеральной совокупности выделяют часть (выборку), и по результатам ее обследования находят среднее значение признака в выборке – выборочную среднюю , с помощью которой и выполняют оценивание неизвестного значения . Другими словами, выборочная средняя является оценкой генерального среднего .

Пример. Пусть некоторая совокупность деталей обследуется на предмет их длины. Тогда – средняя длина деталей в генеральной совокупности, – средняя длина деталей в выборке, – длина детали, взятой наудачу из генеральной совокупности.

В том случае, когда оценивание сводится к использованию приближенного равенства , говорят о точечном оценивании генеральной средней (см. § 7.1).

Возможно также интервальное оценивание генеральной средней (см. § 7.1). Для того чтобы объяснить, в чем оно состоит, введем в рассмотрение следующие понятия.

Определение. Для произвольного интервал называется доверительным интервалом; величина называется в этом случае предельной ошибкой выборки.

Определение. Вероятность того, что неизвестное значение генеральной средней накрывается доверительным интервалом, называется доверительной вероятностью.

Таким образом,

– доверительная вероятность.

Интервальное оценивание состоит, например, в вычислении доверительной вероятности для заданной предельной ошибке выборки.

Как и всякая оценка, выборочная средняя является случайной величиной. Действительно, элементы выборки отбираются из генеральной совокупности случайным образом, а значение зависит от того, какие именно элементы попали в выборку. Рассмотрим свойства выборочной средней как случайной величины.

Теорема 1. Математическое ожидание выборочной средней равно генеральной средней , то есть

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней вычисляется по формулам

– в случае повторной выборки и

– в случае бесповторной,

где – объем выборки, – объем генеральной совокупности, – дисперсия признака для рассматриваемой генеральной совокупности (генеральная дисперсия).

Напомним, что, по определению среднего квадратического отклонения, равно корню квадратному из дисперсии выборочной средней, то есть

(аналогично в случае бесповторной выборки).

Замечание. При применении на практике формул Теоремы 1 полагают, что

.

Теорема 2. Закон распределения выборочной средней неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении объёма выборки.

Согласно результатам § 4.3, для произвольной нормально распределенной случайной величины справедлива формула

.

Учитывая Теорему 2, в последнем равенстве положим . Тогда, по Теореме 1, и , и приведенная формула – свойство нормального закона распределения принимает вид:

.

Вероятность, стоящая в левой части последнего равенства называется доверительной вероятностью (см. выше), поэтому сама эта формула называется формулой доверительной вероятности.

Теорема 3. Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней .

Пример. Для обследования средней заработной платы трехсот рабочих была образована выборка, состоящая из пятидесяти рабочих. Результаты выборочного обследования представлены в таблице:

Заработная плата в месяц, ден. ед.	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220
Число рабочих

 

1. Найти вероятность того, что средняя заработная плата всех рабочих отличается от средней выборочной не более чем на 5 ден. ед. (по абсолютной величине) в случае повторной и бесповторной выборок.

2. Найти границы, в которых с вероятностью 0, 9545 заключена средняя заработная плата всех рабочих.

3. Сколько рабочих надо взять в выборку, чтобы полученные в п. 2 доверительные границы можно было гарантировать с вероятностью 0, 9973.

Решение. Исходный вариационный ряд является интервальным. Для нахождения его характеристик, прежде всего, сведем этот вариационный ряд к дискретному:

где – возможное значение заработной платы – середина - го интервала исходного вариационного ряда (ден. ед.); – число рабочих; .

.

.

Для нахождения доверительной вероятности (см. п. 1 задания) воспользуемся одноименной формулой при . Но сначала вычислим средние квадратические отклонения выборочной средней для каждого из рассматриваемых типов выборок.

а) Повторная выборка.

б) Бесповторная выборка, .

.

.

Доверительный интервал в данном случае: .

Тем самым получаем, что: неизвестное значение средней заработной платы всех рабочих накрывается интервалом (146, 6; 156, 6) с вероятностью 0, 8557 в случае повторной выборки и с вероятностью 0, 89 в случае бесповторной выборки.

В п. 2 задания искомым является доверительный интервал, для нахождения которого следует вычислить предельную ошибку выборки . Из условия и формулы доверительной вероятности в случае повторной выборки следует, что

.

По таблице значений функции Лапласа найдем такое значение , что . Имеем . Поскольку

,

то

.

Соответствующий доверительный интервал:

.

Аналогично, в случае бесповторной выборки имеем

.

Соответствующий доверительный интервал:

.

Таким образом, неизвестное значение средней заработной платы всех рабочих с вероятностью 0, 9545 накрывается доверительным интервалом (144, 73; 158, 47) в случае повторной выборки и доверительным интервалом (145, 33; 157, 87) в случае бесповторной выборки.

При решении п. 3 задания будем считать известными приближенные значения выборочной средней и выборочной дисперсии . Также используем предельные ошибки выборки , найденные в п. 2. Рассмотрим сначала случай повторной выборки.

Из условия и формулы доверительной вероятности следует, что

.

По таблице значений функции Лапласа найдем такое значение аргумента , что : . Тогда

и .

Используя известную формулу для (см. Теорему 2 данного параграфа), имеем равенство:

,

в котором единственной неизвестной является искомый объем выборки . Решая получившееся уравнение относительно , получаем

.

Подставляя в правую часть последнего равенства известные величины, получаем

(заметим, что округление в данном случае, по смыслу искомой величины, следует произвести до целых, причем в большую сторону, чтобы обеспечить, как говорят, запас по вероятности).

Повторяя проведенные рассуждения для случая бесповторной выборки, имеем:

,

.

Решая полученное уравнение относительно , получаем

,

откуда

,

(также как и выше округление здесь произведено в большую сторону).

Таким образом, для того, чтобы с вероятностью 0, 9973 неизвестное значение средней заработной платы всех рабочих накрывалось доверительным интервалом (144, 73; 158, 47) в случае повторной выборки, в эту выборку следует взять 113 рабочих. Аналогично, для того, чтобы с вероятностью 0, 9973 неизвестное значение средней заработной платы всех рабочих накрывалось доверительным интервалом (145, 33; 157, 87) в случае бесповторной выборки, в выборку следует взять 94 рабочих.

Замечание. Если в задаче на выборочный метод объем генеральной совокупности много больше объема выборки (в ряде случаев это предполагается по умолчанию, а объем генеральной совокупности просто не указан), естественно считать, что . Как следует из формул Теоремы 1, случаи повторной и бесповторной выборок дают тогда совпадающие результаты.