Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. при всех х.
2. Интеграл от плотности распределения на всей числовой прямой равен 1, т.е.

.

(Данное свойство называется условием нормировки плотности распределения.)

Доказательство. Предположим противное: пусть найдется такой отрезок , что плотность распределения отрицательна на этом отрезке. Тогда (см. свойства определенного интеграла) имеем

Но, по определению плотности распределения, интеграл, стоящий в левой части последнего неравенства равен . Так как вероятность события не может быть отрицательной, приходим к противоречию, что доказывает справедливость свойства 1.

По определению плотности распределения,

Но событие является достоверным, поэтому его вероятность равна 1. Тем самым доказано свойство 2.