Арифметические операции над случайными величинами

Определение. Случайные величины Х и Y называются равными, если их законы распределения точно совпадают, и для произвольного числа справедливо равенство:

Пример. Пусть законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:

Y:				.
	0, 5	0, 5

X:
	0, 5	0, 5

Эти случайные величины равны, если дополнительно справедливы равенства и , т.е. случайная величина Х принимает значение 0

тогда и только тогда, когда случайная величина Y принимает значение 0, и аналогично со значением 1.

Произвольная случайная величина допускает умножение на число. Действительно, пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:

:				…
			…

и – некоторое число.

Определение. Случайной величиной называется такая случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

:				…
			…

Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Х:
	0, 16	0, 48	0, 36

и , . Тогда закон распределения :

	0, 16	0, 48	0, 36

Можно придумать, например, следующую интерпретацию данному примеру. Заметим, что Х – биномиально распределена с параметрами . Пусть Х – число попаданий в мишень при 2-х выстрелах, при каждом из которых попадание случается с вероятностью 0, 6, и дополнительно известно, что за каждое попадание стрелку выплачивается вознаграждение в размере 5 ден. ед. Тогда Y – заработок стрелка.

Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых i и j события и – независимы.

Пример. Пусть из коробки, в которой – 6 белых и 8 красных шаров, извлекается 1 шар. Рассмотрим случайные величины Х – число белых шаров, Y – число красных шаров из извлеченных. События, например, и – несовместны, а поэтому – зависимы (см. § 1.6). Следовательно, и случайные величины Х и Y зависимы.

Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина (, ), которая принимает значение в некотором испытании, если значения и случайных величин Х и в этом испытании таковы, что ().

Пример. Пусть заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y:

Х:				Y:
	0, 4	0, 6		0, 2	0, 8

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Удобно использовать вспомогательную таблицу вида:

	–1

в каждой из центральных клеток которой записаны соответствующие произведения случайных величин X и Y. Такая таблица показывает, какие значения принимает случайная величина U и когда она принимает эти значения. Так тогда и только тогда, когда и или и . Поэтому

.

Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, теорему умножения вероятностей – для независимых событий (по условию, случайные величины и – независимы), получаем

Для наступления каждого из двух оставшихся значений случайной величины U (-1 и 1) имеется по одной возможности. Например, тогда и только тогда, когда и . Тогда получаем:

Аналогично,

Окончательно, закон распределения случайной величины U имеет вид:

U:		–1
	0, 32	0, 56	0, 12

Упражнение. Составить законы распределения случайных величин

Ответ.

Z:					V:
	0, 08	0, 44	0, 48		0, 52	0, 48

W:				R:
	0, 4	0, 6		0, 56	0, 44

Заметим, что закон распределения случайной величины Z фактически найден в примере § 3.1 о двух стрелках. Действительно, исходные независимые случайные величины X и Y данной задачи могут быть интерпретированы как числа попаданий в мишень первого и второго стрелка из § 3.1. Тогда – общее число попаданий, и закон распределения этой случайной величины и найден в упомянутом примере.