Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p, причем число испытаний достаточно велико (.Тогда вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит раз, вычисляется по следующей приближенной формуле

где – функция Гаусса,

Пример. Имеется партия деталей, состоящая из 1000 штук. В среднем среди деталей такого вида стандартные детали составляют 90%. Найти вероятность того, что число стандартных деталей в данной партии окажется равным 890.

Решение. Число испытаний в данном случае достаточно велико , поэтому локальная теорема Муавра-Лапласа применима. Из условия следует, что вероятность быть стандартной для произвольной детали данной партии равна

, , . Тогда

По локальной теореме Муавра-Лапласа,

Учитывая, что функция Гаусса четная, используя таблицу этой функции (см. учебник Н.Ш. Кремера, с. 553-554), находим Окончательно, получаем