Определение Править

Периодическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом.

Периоди́ ческая фу́ нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠ 0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается — вещественные числа с операцией сложения или — комплексные числа). Функция (где — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом, если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого, то функция называется апериоди́ ческой.

Если для функции существуют два периода, отношение которых не равно вещественному числу, то есть, то называется двоякопериоди́ ческой фу́ нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на.

Править]Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если — период, то и любой элемент вида (или, если в области определения функции определена операция умножения), где — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E5%F0%E8%EE%E4%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%F4%F3%ED%EA%F6%E8%FF

2. Ряд Фурье

Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синусаи косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Определение Править

Классическое определение Править

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида

или, более сжато

(1)

Постоянные числа , и () называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , так как и являются периодическими функциями с периодом .