Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния

Рассмотрим элементарный объем линейно-упругого изотропного тела, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем касательные напряжения на его гранях отсутствуют:

Таким образом, координатные грани элементарного объема являются главными площадками, координатные оси x, y, z – главными осями, нормальные напряжения, действующие на главных площадках – главными напряжениями и, соответственно, линейные относительные деформации в направлении главных осей – главными деформациями .

По направлению осей x, y, z возникают абсолютные деформации D a, D b, D c.

Величина главной относительной деформации в направлении оси z: .

Напряжение σ ₁ приводит к увеличению D c, и по закону Гука

.

Напряжения σ ₂ и σ ₃ работают на увеличение D a иD b и вызывают уменьшение D c, то есть, используя закон Гука и коэффициент поперечной деформации,

, .

Применяя принцип суперпозиции, находим

.

Расписывая аналогичным образом главные деформации и , окончательно получим:

,

.

Полученные зависимости представляют собой обобщенный закон Гука в главной системе координат.

Проводя такие же рассуждения для элементарного объема, грани которого не являются главными площадками, получим обобщенный закон Гука в произвольной системе координат:

,

.