Определение напряжений на произвольной площадке

Выделим внутри рассматриваемого элементарного куба произвольную секущую площадку А:

Получим элементарный тетраэдр, на наклонной площадке BCD которого возникает вектор полного напряжения .

Пусть даны шесть компонент напряжений: , действующих в координатных гранях тетраэдра. Определим X, Y, Z – проекции вектора полного напряжения , действующего на площадке BCD.

Введем следующие обозначения:

- нормаль к площадке BCD,

- направляющие косинусы, которые определяют положение площадки BCD.

Обозначим площадь рассматриваемой площадки A_BCD=A, тогда площади остальных граней: A_BCO=A× l; A_OCD=A× m; A_BOD=A× n.

Запишем условия статического равновесия для системы сил, действующей на грани выделенного тетраэдра:

,

,

.

Откуда проекции вектора полного напряжения:

Таким образом, напряженное состояние в точке можно считать заданным, если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках.

Нормальное напряжение на площадке BCD можно определить как сумму проекций компонент вектора полного напряжения Х, Y, Z на нормаль :