Нормальное, равномерное и показательное распределения 3 страница

Задача 4. Дискретная CB X задана рядом распределения:

Найти: 1) ряд и функцию распределения CB Y = 2 X + 1;

2) M (Y) и D (Y).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x) и s(X); 3) P (1 < X < 2); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X точно один раз примет значение, принадлежащее интервалу (1, 2).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной
CB X. Найти F (x), P (–1 < X ≤ 1), M (X) и D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 14 и s(X) = 2 нормально распределенной непрерывной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 9973.

Задача 8. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение со средним значением для 1-го элемента 20 часов,
2-го – 25 часов. Найти вероятность того, что: за промежуток времени длительностью 10 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент; в) хотя бы один элемент откажет.

ВАРИАНТ 16

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (– 1≤ X < 4). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0, 1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0, 15 и 0, 2. Х – количество ошибок, которые допустят все исследователи при однократном измерении этой величины. Для СВ Х составить ряд распределения и найти M (X), D (X) и s(X).

Задача 3. Изделие с заданными характеристиками можно изготовить из каждой заготовки с вероятностью 0, 7. Построить ряд распределения CB X – числа изделий с нарушением заданных характеристик, которые можно изготовить из четырех заготовок, вычислить M (X), D (X) и s(X). Оценить вероятность того, что число изделий с нарушением заданных характеристик, производимых из 160 заготовок, будет не менее 20 и не более 80.

Задача 4. Дискретная CB X задана рядом распределения:

Найти: 1) ряд распределения CB Z = X – M (X); 2) функцию распределения F (z); 3) M (Z) и D (Z).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x); 3) вероятность того, что СВ Х примет значение в интервале ; 4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу . Построить графики F (x) и f (x).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X. Найти F (x), M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 16 и s(X) = 3 нормально распределенной непрерывной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 6319.

Задача 8. Некто ожидает телефонный звонок между 18: 00 и 19: 00 часами. Время ожидания звонка есть непрерывная случайная величина X, имеющая равномерное распределение на отрезке [18, 19]. Найти вероятность того, что в звонок поступит: а) в промежутке от 18 часов 20 минут до 18 часов 45 минут; б) позже 18 часов 30 минут.

ВАРИАНТ 17

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (1≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. Нужная студенту информация может содержаться на одном из четырех сайтов с вероятностями 0, 6; 0, 5; 0, 7; 0, 4 соответственно (эти вероятности студенту не известны). Х – количество сайтов, на которых эта информация будет находиться во время поиска. Составить ряд распределения и найти F (x), M (X) и s(X).

Задача 3. Датчики могут быть активированы независимо один от другого. Вероятность активации в данный момент для каждого датчика равна 0, 8. Построить ряд распределения CB X – числа датчиков из пяти, которые могут быть активированы в данный момент; вычислить M (X), D (X), s(X); оценить вероятность того, что число неактивированных датчиков будет равно десяти, если общее число датчиков 200, а вероятность активации в данный момент для каждого датчика равна 0, 96.

Задача 4. Дискретная CB X задана законом распределения:

Найти ряд распределения CB Y = 2 X ²– 3, M (Y) и s(Y).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x), D (X); 3) вероятность того, что СВ Х примет значение в интервале ; 4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно три раза примет значения, принадлежащие интервалу .

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X. Найти: F (x), M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 17 и s(X) = 4 нормально распределенной непрерывной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 6827.

Задача 8. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превосходит 5 мм. Случайные отклонения Х контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 2 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что отклонение контролируемого размера не будет превосходить по модулю 1 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

ВАРИАНТ 18

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (–11≤ X < –1). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекают 3 шара. Для СВ Х – числа белых шаров среди извлеченных, составить ряд распределения и найти F (x), M (X), D (X) и s(X).

Задача 3. Вероятность того, что нить накаливания электрической лампочки может перегореть за время t для каждой лампочки равна 0, 15. Лампочки перегорают независимо друг от друга. Построить ряд распределения CB X – числа лампочек из четырех работающих, которые могут перегореть за время t, вычислить M (X), D (X), s(X).

Оценить вероятность того, что за время t перегорит не менее четырех и не более пяти лампочек из 1000, если вероятность перегореть за время t для каждой лампочки равна 0, 003.

Задача 4. Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из двух стрелков (X и Y соответственно) таковы:

Составить ряд и функцию распределения случайной величины Z – суммы очков, выбиваемых этими стрелками. Найти M (Z) и D (Z).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x) и D (X); 3) вероятность того, что СВ X примет значение в интервале (0, 5; 1, 5); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу
(0, 5; 1, 5).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой CB X. Найти F (x), M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 15 и s(X) = 3 нормально распределенной непрерывной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 9973.

Задача 8. Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону с параметром l = 0, 02. Найти: а) среднее время работы радиоаппаратуры в часах; б) вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в течение 40 часов.

ВАРИАНТ 19

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (2≤ X < 4). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. В коробке 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до появления белого шара. Для СВ Х – числа извлеченных шаров составить ряд распределения и найти M (X) и s(X).

Задача 3. Появления события А в каждом из серии независимых опытов может наблюдаться с вероятностью 0, 5. 1) Построить ряд распределения CB X – числа появлений события А в пяти опытах, вычислить M (X), D (X), s(X). 2) Оценить вероятность того, что в 90 опытах число появлений события А будет не менее 30 и не более 80.

Задача 4. Дискретная CB X задана рядом распределения:

Составить ряд распределения . Найти F (z) и D (Z), если M (Х) = 1.

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x) и D (X); 3) вероятность того, что СВ X примет значение в интервале (1; 2, 5); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X точно три раза примет значения, принадлежащие интервалу
(1; 2, 5).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X. Найти F (x), P (1 ≤ X < 3), M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 19 и s(X) = 4 нормально распределенной непрерывной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 3899.

Задача 8. Деталь, изготовленная на штамповочном станке, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от стандарта не превышает 10 мм, при этом случайные отклонения Х контролируемого размера от стандарта подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 4 мм и а = 0 мм (станок не дает систематических отклонений от стандарта). Найти вероятность того, что отклонение от стандарта контролируемого размера не превысит 5 мм, а также процент годных деталей, производимых станком.

ВАРИАНТ 20

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (–15≤ X < 0). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0, 95 для первого сигнализатора и 0, 9 для второго. Для СВ Х – количества сигнализаторов, срабатывающих при аварии, составить ряд распределения и найти F (x), M (X) и s(X).

Задача 3. Каждая из одинаковых деталей может прослужить дольше установленного срока в среднем в двух случаях из трех.

1) Построить ряд распределения CB X – числа деталей, которые могут прослужить дольше установленного срока, среди пяти деталей, взятых наудачу из большой партии; вычислить М (X), D (X), s(X).

2) Оценить вероятность того, что из 100 взятых наудачу деталей точно 6 деталей прослужат дольше установленного срока.

Задача 4. Совместное распределение дискретных CB X и Y задано таблицей:

Составить ряд распределения . Найти M (Z) и D (Z).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x) и D (X); 3) вероятность того, что СВ X примет значение в интервале (1, 5; 2, 5); 4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу (1, 5; 2, 5).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X. Найти F (x), P (0 ≤ X ≤ 1, 5) M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 11 и s(X) = 2 нормально распределенной непрерывной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 9426.

Задача 8. Автобусы некоторого маршрута идут по расписанию с интервалом 10 мин. Считая случайную величину Х – время ожидания автобуса распределенной равномерно, найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус: а) менее 5 минут; б) от 2 до 4 минут.

ВАРИАНТ 21

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (3≤ X < 9). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. В партии, содержащей 20 изделий, имеются четыре изделия со скрытыми дефектами. Наудачу отбирают три изделия для проверки их качества. Для СВ Х – числа дефектных изделий, которые будут содержаться в указанной выборке, составить ряд распределения и найти M (X), D (X) и s(X).

Задача 3. Прибор содержит n независимо работающих элементов, каждый из которых с вероятностью 0, 2 может выйти из строя за время t. Требуется: 1) построить ряд и функцию распределения CB X – числа элементов не вышедших из строя за время t, если n = 6; вычислить M (X), D (X), s(X); 2) оценить вероятность того, что при n = 200 число не вышедших из строя за время t элементов будет не менее 150 и не более 190.

Задача 4. Дискретная CB X задана законом распределения:

Составить ряд распределения . Найти F (z) и D (Z), если M (Х) = 1.

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x), 3) вероятность того, что СВ X примет значение в интервале ; 4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X только один раз примет значение, принадлежащее интервалу .

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X. Найти F (x), , M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 18 и s(X) = 3 нормально распределенной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 9973.

Задача 8. Отклонение размера детали от стандарта представляет собой случайную величину Х, распределенную нормально с математическим ожиданием а = 4 см и средним квадратическим отклонением s = 0, 2 см. Найти процент деталей, размер которых отклоняется от а не более, чем на s, а также вероятность следующего события: 0, 1см ≤ Х ≤ 0, 3 см.

ВАРИАНТ 22

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X), дисперсию D (X), среднее квадратическое отклонение s(X), моду M ₀(Х); 3) вероятность P (–5≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F (x).

Задача 2. Вероятность того, что при опускании одной монеты автомат срабатывает правильно, равна 0, 98. Имеется 5 монет. Для СВ Х – числа израсходованных монет до первого правильного срабатывания автомата или использования всех монет составить ряд распределения и найти F (x), M (X) и s(X).

Задача 3. Производятся независимые выстрелы по цели. Вероятность попасть в цель при каждом выстреле равна 0, 6.

1) Построить ряд распределения CB X – числа возможных попаданий при пяти выстрелах; вычислить M (X), D (X), s(X).

2) Оценить вероятность того, что при 80 выстрелах число попаданий будет не менее 40 и не более 70.

Задача 4. Заданы ряды распределения независимых случайных величин X и Y:

xi
pi		?

yi
pi

Составить ряд и функцию распределения СВ Z = X + Y, найти M (Z) и D (Z).

Задача 5. Непрерывная случайная величина X (СВ X) задана функцией распределения F (x)

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (x), D (X); 3) вероятность того, что СВ X примет значение в интервале (1; 2, 5); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу
(1; 2, 5).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой CB X. Найти: F (x), M (X), D (X). Построить график F (x).

Задача 7. Заданы M (X) = 10 и s(X) = 5 нормально распределенной СВ X. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0, 9108.

Задача 8. Средняя продолжительность разговора по телефону равна 3 минутам. Считая, что время разговора по телефону есть случайная величина X, распределенная по показательному закону, найти вероятность следующих событий: а) 2 мин. ≤ X ≤ 5 мин.;
б) X ≥ 4 мин.