Нормальное распределение

Нормально распределенные случайные величины широко встречаются в природе, на практике. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением: рост и вес животных, высота растений, показатели интеллекта, наличие той или иной способности, отклонение при стрельбе, количество бракованных изделий и т.д. Оно часто используется для приближённого описания многих случайных явлений, в которых на интересующий нас результат, оказывает воздействие большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Закономерность нормального распределения, проявляется в том, что чаще всего встречаются средние значения исследуемого показателя и чем больше отклонение от средней величины, тем реже встречаемость таких отклонений.

Плотность этого распределения описываемой формулой

(6.1)

Параметры распределения являются математическое ожидание (в формуле оно обозначено a) и среднее квадратичное отклонение σ.

Математическое ожидание характеризует положение графика нормального распределения на числовой оси, поэтому иногда этот параметр называют параметром положения. График нормального распределения всегда является симметричным относительно математического ожидания и иногда называется кривой Гаусса. Так как нормальное распределения является симметричным, то мода, медиана и среднее значение нормального распределения совпадают.

Типичный вид плотности и функции нормального распределения М(Х) = а, Д(Х) = σ. Дисперсия или стандартное отклонение σ характеризует степень сжатия (растяжения) графика нормального распределения, поэтому иногда этот параметр называют параметром масштаба. Чем больше дисперсия нормального распределения, тем «ниже и шире» расположен график нормального распределения.

Нормальное распределение играет большую роль в математической статистике, поскольку многие статистические методы предполагают, что анализируемые с их помощью экспериментальные данные распределены нормально.

Статистики показали, что при нормальном распределении «большая часть» результатов, располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда одна и та же и не зависит от величины стандартного отклонения: она соответствует 68% популяции (т.е. 34% ее элементов располагается слева и 34% — справа от средней):

Так же было рассчитано, что 94, 45% элементов популяции при нормальном распределении не выходит за пределы двух стандартных отклонений от средней и что в пределах трех стандартных отклонений умещается почти вся популяция — 99, 73%.

В психологических исследованиях нормальное распределение используется в первую очередь при разработки и применении тестов интеллекта и способностей. Так например, показатель интеллекта IQ, соответствует закону нормального распределения имея среднее значение равное 100 для любой конкретной возрастной группы и стандартное отклонение, подавляющем в большинстве случаев равное 1σ. Однако применительно к другим психологическим категориям в первую очередь к таким как: личностная и мотивационное сферы применение нормального распределения представляется весьма дискуссионно. Во многих случаях «сырые» психологические данные часто дают ассиметричные «ненормальные» распределения. При обработке экспериментальных данных всегда целесообразно проводить оценку характера распределения. Эта оценка важна, потому что в зависимости от характера распределения, решается вопрос о возможности применения того или иного статистического метода.