Уравнение регрессии в матричной форме можно записать в следующем виде

(8)

где введены следу­ющие матрицы:

1) матрица-столбец (вектор) значений отклика в i- х точках эксперимента . Здесь индекс «Т» означает операцию транспонирования матрицы – перевод столбца в строку матрицы;

2) матрица планирования эксперимента, которая задает координаты всех опытных точек ,

где введена фиктивная переменная , тождественно равная единице при всех значениях плана;

3) матрица-столбец (вектор) искомых коэффициентов регрессии

.

Здесь постоянная регрессии, которая в уравнении (2) обозначена через а;

4) матрица-строка (вектор) флюктуаций или помех

.

С учетом матричных обозначений сумму квадратов остатков можно представить в виде

. (9)

Дифференцируя по В и приравнивая полученную производную нулю, получим систему нормаль­ных уравнений в матричной форме:

или . (10)

Матричная форма нормальных уравнений (10) для линейного уравнения регрессии равносильна системе алгебраических уравнений:

В уравне­нии (10) матрица называется информационной матрицей, или матрицей системы нормальных уравнений.

Матрица-столбец b - коэффициентов определяется из уравнения (10) путем умножения слева обеих его частей на матрицу , которая называется дисперсионной, так как с ее помощью устанавливаются оценки дисперсий b - коэффициентов. В результате имеем

(11)

3. Решение задачи регрессионного анализа в случае ортогонального плана

Методика построения моделей на основе ортогональных планов состоит в переходе к кодированной переменной U, обладающей свойствами симметрии относительно нового начала координат, совпадающего со сред­ним значением физической переменной X. Связь между физической переменной X и кодиро­ванной переменной U устанавливается с помощью уравнения кодирования

, (12)

где d —шаг квантования переменной X.

При этом предполагается, что от­клик Y измеряется при равноотстоящих значениях фактора X. Кодирование переменной по формуле (12) приводит к тому, что кодиро­ванная переменная принимает симметричные относительно нуля значения такие, что имеет место условие .

Ортогональность плана приводит к диагональной информационной матрице

. (13)

Например, соответственно для пяти и семи опытных точек плана получим следующие информационные мат­рицы:

;

.

Таким образом, в случае ортогонального плана информационная матрица является диагональной. Из нее легко получается обратная (дисперсионная) матрица

. (14)

Для пяти и семи опытных точек плана дисперсионные матрицы соответственно равны:

; .

В общем случае при ортогонализации и кодировании факторов значения элементов дисперсионной матрицы не зависит от реальных значений фактора X, а зависит только от числа опытных точек плана n.

Зная матрицу С, нетрудно найти b – коэффициенты. Так как для кодированных переменных u_i

Таблица 5

Решение. Выполним необходимые расчеты (см. табл. 5) для решения уравнений (17). В результате получим:

; .

С учетом формулы (12) кодирования фактора перейдем к физической переменной X и получим уравнение регрессии в том же виде, который ранее был найден без допущений об ортогональности плана

.