Моделирование свойств смесей

Используемые для получения строительных материалов и изделий сырьевые материалы (вяжущие, заполнители и наполнители, химические добавки и т.п.) могут представлять собой смеси из q размерных веществ, минералов, зерен разной крупности и т.п. Их состав (рецептура) задается концентрациями компонентов в виде массовых, объемных или мольных долей (процентов) V_i, причем [34].

Системы, свойства которых зависят только от соотношения компонентов V=(V₁, V₂, …V_q) и не зависят от количества смеси, и от условий ее переработки и других факторов, называются системами “состав-свойства” или “смесь-свойства” и обозначаются MQ (от англ. miхture - смесь и quality - свойство, качество). Условие (выше) определяет рецептуру как систему с q линейно связанными элементами в_i, число степеней свободы которой равно (q-1). Ее геометрическим аналогом является (q-1) -мерный правильный симплекс (простой), т.е. выпуклый многогранник, не имеющий диагональных сечений. Для двух компонентной системы это отрезок прямой, для q = 3 - равносторонний треугольник, для q = 4 - тетраэдр. При изучении систем MQ факторы Х_i=V_i варьируются на симплексе. Зависимость У(V) может быть представлена как диаграмма “состав-свойства”. Каждому j -му составу смеси V_j, определяемому уровень свойства У(V_j), соответствует точка симплекса: чистым веществам (или зернам одного размера, или порошку одного минерала) - вершины симплекса, двойным смесям - точки ребер, тройным системам - точки поля треугольника. Для любой точки М на треугольнике (рисунок 18) содержание i -го компонента V_i = l_iM/l пропорционально расстоянию l_iM от М до стороны, противолежащей i -ой вершине:

Рисунок 18 – Отображение на смесевом треугольнике: а – зернового состава заполнителя; б – зависимость эффективной вязкости композиции от состава наполнителя; в – аналог «а» при исключении третьего компонента Х₂.

по перпендикуляру, если за единицу принята высота L₁ или по прямой, параллельной стороне, если за единицу принята сторона l. Свойство У в зависимости от состава трехкомпонентной смеси представляют изолиниями в поле концентрационного треугольника.

При q = 4 возможно объемное изображение изоповерхностей свойства в теле тетраэдра, поверхность которого отображается разверткой из четырех треугольных диаграмм (рисунок 19). В связи с удобством графической интерпретации результатов моделирования треугольная диаграмма является основным информационным элементом при анализе многокомпонентных систем MQ. Поскольку технические свойства (в отличие, например, от температуры фазовых переходов стекол, шликеров, сплавов и т.п.) определяются, как правило, не только исходным составом смеси, но и условиями ее переработки в изделие, то при анализе этих свойств система и соответствующие диаграммы “состав-свойства” рассматриваются для фиксированных значений других рецептурно-технологических эксплуатационных факторов.

Рисунок 19 – Диаграмма «зерновой состав-вязкость» при разной степени наполнения

Построение и анализ диаграмм “состав-свойства” осуществляется на основе экономико-статистических моделей зависимостей свойств от состава смеси. Полный полином степени m от q смесевых факторов V_i в системе MQ не может быть использован в качестве формы таких моделей: в силу линейной связи факторов члены такого полинома оказываются линейно зависимыми, т.е. не представляют систему базисных функций при разложении У по С^m_q+m составляющим вектора f^t(V)=(1, V₁, …, V_q, V₁V₂, …, V₁², …, V_q1²…).

Поскольку желательно, чтобы описание системы отражало воздействие на нее всех компонентов. В качестве моделей для системы MQ, как правило, используют предложенные Шефе приведенные полиномы с числом коэффициентов С^m_q+m-1. Такой полином второй степени для тройной системы получается из обычного полинома:

У = а₀+a₁V₁+a₂V₂+a₃V₃+a₁₂V₁V₂+a₁₃V₁V₃+a₂₃V₂V₃+a₁₁V₁²+a₂₂V₂²+a₃₃V₃² (4.89)

после вытекающих подстановок:

а₀ = a₀V₁+a₀V₂+a₀V₃

V₁² = V₁-V₁V₂-V₁V₃ (4.90)

V₂² = V₂-V₁V₂-V₂V₃

V₃² = V₃-V₁V₃-V₂V₃

при обозначении A_i = a₀+a_i+a_ii A_ij=a_ij-a_ii-a_ij

получается приведенный полином

У = А₁V₁+А₂V₂+А₃V₃+А₁₂V₁V₂+А₁₃V₁V₃+А₂₃V₂V₃ (4.91)

в котором 6 коэффициентов А заменяют 10 коэффициентов полинома. Аналогично записывается приведенный полином второй степени от q переменных.

У = ∑ A_iV_i+∑ A_ijV_iV_j (4.92)

Коэффициенты приведенных полиномов имеют физический смысл. А: равны величине У (значению свойства) для “чистого” i- го компонента; нелинейную часть таких моделей называют синергизмом (содружество), i -ое смешивания компонентов вызывает увеличение отклика (А_ij> 0), или антагонизмом (борьба) при его уменьшении (А_ij< 0).

Совместное воздействие на технические свойства материалов смесевых (взаимозависимых) факторов V и взаимонезависимых факторов /Х/< 1 (параметры технологии и эксплуатации, относительное к количеству базового компонента содержание смеси и т.п.) можно оценить, анализируя изменения диаграмм “состав-свойство” под влиянием Х_i. Передвигая диаграмму “ V-Y ” вдоль оси Х_i в факторном пространстве и фиксируя ее в отдельных точках этой оси, можно проанализировать скачкообразные изменения изолиний У(V) = const под влиянием этого фактора. При непрерывном перемещении диаграммы вдоль оси Х₁ формируется треугольная призма, в которой изоповерхности свойства У(V₁, V₂, V₃, Х₁)=С_тр=const образованы соответствующими изолиниями У(V₁, V₂, V₃)=С_тр=const.

Отобразить графически изменение диаграммы “состав-свойство” под влиянием двух технологических факторов - Х₁ и Х₂ - можно только дискретно: строятся и анализируются смесевые диаграммы f(V) в фиксированных точках квадрата {Х₁, Х₂}, в частности в девяти точках-центроидах.

Возможно другое отображение - в 7 точках-центроидах треугольника (вершины, середины сторон и центр тяжести) строятся изменяющиеся от точки к точке квадратные диаграммы У(Х₁, Х₂).

Системы, свойства которых определяются группой смесевых факторов V= (V₁…V_q)^t и группой технологических факторов Х = (Х₁…Х_k)^t, названы системами “смесь-технология-свойства” и обозначены MTQ (от англ. technology- технология).