Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства плотности распределения двумерной случайной величины
|
|
1) Плотность распределения двумерного случайного вектора есть функция неотрицательная:
. (15)
Действительно, по определению плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника – и, следовательно, отрицательной быть не может.
2) Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу от плотности по области D:
(16)
Действительно, разбив область D на прямоугольники и применив к каждому из них равенство (13), получаем, по теореме сложения вероятностей, при стремлении к нулю площадей прямоугольников (то есть при 
и 
), формулу (15). Геометрически эта вероятность изображается объёмом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения 
и опирающегося на область D.
3) Функция распределения двумерной случайной величины выражается через плотность распределения следующим образом:
(17)
Эта формула следует из (13), так как F(x, y) есть вероятность попадания в прямоугольник, ограниченный абсциссами 
и ординатами 
.
4) Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице:
. (18)
Действительно, этот интеграл есть вероятность попадания во всю плоскость xOy, то есть вероятность достоверного события. Геометрически свойство 4 означает, что объём тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью xOy, равен единице.
5) Плотности распределения компонент двумерного случайного вектора могут быть получены по формулам:
, (19)
. (20)
Доказательство. Принимая во внимание, что
и 
,
найдем
.
Продифференцировав обе части этого равенства по х, получим формулу (19):
.
Аналогично выводится формула (20).
Пример 5. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения вероятностей 
.
Найти: 1) А; 2) 
; 3) 
и 
.
Решение: 1) Постоянную А найдём, используя условие нормировки:
, 
Следовательно, 
2) Используя формулу (14), находим:
Можно было сначала по формуле (17) найти функцию распределения
и затем воспользоваться формулой (8):
3) 
Ответ:
1) 
; 2) 
0, 088104; 3) 
; 
.
|
|