Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1) , (2)

так как это вероятность.

2) F(x, y) есть неубывающая функция своих аргументов, то есть

при _{, (3)}

при _{. (4)}

Доказательство. При увеличении какого-либо из аргументов (x, y) заштрихованная на рис.1 область увеличивается, значит, вероятность попадания в неё случайноё точки (X, Y) не может уменьшаться.

3) Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, то функция распределения F(x, y) равна нулю:

. (5)

Доказательство. События и их произведение невозможны, следовательно, вероятности этих событий равны нулю.

4) Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения F(x, y) равна единице:

. (6)

Доказательство. Событие достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

5) При одном из аргументов, равном +∞, функция распределения двумерного вектора превращается в функцию распределения компоненты, соответствующей другому аргументу:

. (7)

Доказательство: Так как событие Y< +∞ достоверно, то F(x, +∞) определяет вероятность события X < x, то есть представляет собой функцию распределения составляющей X.

Итак, зная совместное распределение двух случайных величин, можно найти одномерные распределения каждой из этих случайных величин, однако обратное, в общем случае, неверно.

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы случайных величин Х и Y, найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу x₁< X< x₂ и Y< y

y (x₁, y) (x₂, y)

p{x₁< X< x₂, Y< y} =

= p(x< x₂, Y< y) - p{ X< x₁, Y< y}=

= F(x₂, y) - F(x₁, y)

x₁ x₂ x

Аналогично, y

p{X< x, y₁< Y< y₂} = F(x, y₂) - F(x, y₁). y₂ (x, y₂)

Таким образом, вероятность попадания случайной

точки в полуполосу равна приращению функции (x, y₁)

распределения по одному из аргументов. y₁

x x