Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце

Рассмотрим случай вращения тонкостенного кольца () с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной к плоскости кольца (рис. 15.16, а).

При вращении кольца каждый его элемент движется с центростремительным ускорением . Силы инерции направлены в сторону, противоположную ускорениям, и при постоянном сечении распределены равномерно вдоль кольца. Интенсивность сил инерции, т.е. сила инерции, приходящаяся на единицу длины кольца, . Здесь - плотность материала, F - площадь сечения, а R - радиус средней линии кольца.

Кольцо теперь можно рассматривать как неподвижную плоскую раму, нагруженную равномерно распределенными радиальными силами интенсивностью q.

Рассекая кольцо любой диаметральной плоскостью на две части, приложим в сечениях осевые силы N и изгибающие моменты X ₁.

Рис. 15.16

Проектируя все силы, действующие на полукольцо, на направление оси y, получаем

.

Отсюда

.

Подставляя в это выражение значение q, находим

.

Для определения неизвестного X ₁ составим каноническое уравнение

,

коэффициенты которого вычислим способом Мора.

Изгибающий момент в текущем сечении полукольца от силы N и распределенной нагрузки q (см. рис. 15.16, б)

,

а от единичной пары .

Следовательно, и поэтому X ₁=0, т.е. изгибающие моменты во всех поперечных сечениях кольца равны нулю. Этот результат объясняется тем, что при вращении вокруг центра кольцо сохраняет свою форму и никаких изгибных деформаций не испытывает; увеличивается только его диаметр.

Таким образом, нормальные напряжения в поперечном сечении кольца

Например, в стальном кольце ( =7850 кг/м³) радиуса R =50 см при n =2500 об/мин растягивающее напряжение

Итак, напряжения во вращающемся кольце зависят только от окружной скорости и плотности материала, но не зависят от площади его поперечного сечения. Поэтому увеличением размеров сечения нельзя уменьшить напряжения в тонкостенном вращающемся кольце.

Рассмотрим теперь случай равномерного вращения тонкостенного кольца вокруг его горизонтальной оси x.

Различные элементы кольца находятся на разных расстояниях от оси вращения, и поэтому силы инерции распределены неравномерно по длине кольца (рис. 15.17, a):

.

Максимальная интенсивность . Следовательно,

.

В сечениях вдоль вертикальной оси симметрии кольца будут действовать только изгибающие моменты X ₁, а перерезывающие силы Q и нормальные силы N равны нулю. В отсутствии нормальных сил N в этих сечениях легко убедиться, спроектировав все силы, действующие на левое или правое полукольцо, на горизонтальную ось симметрии.

Представим эквивалентную систему, как показано на рис. 15.17, б. Изгибающий момент в текущем сечении кольца от внешней нагрузки

,

а от единичной пары .

Рис. 15.17 Рис. 15.18

Составим каноническое уравнение

,

Коэффициенты и этого уравнения:

;

.

Следовательно,

.

Итак, изгибающий момент в текущем сечении рамы

.

Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 15.18. Опасными являются сечения A и B кольца, так как в этих сечениях кроме изгибающих моментов действуют наибольшие растягивающие нормальные силы

.

Максимальные напряжения в раме

,

где - момент сопротивления изгибу, а F - площадь поперечного сечения кольца.