Задача 4. Дано. Диспетчерская служба имеет 5 линий связи

Дано. Диспетчерская служба имеет 5 линий связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью вызовов в минуту. Среднее время переговоров с диспетчером составляет 3 минуты. Время переговоров распределено по показательному закону. Найти абсолютную и относительную пропускные способности диспетчерской службы; вероятность отказа; среднее число занятых каналов. Определить, сколько линий связи должна иметь диспетчерская служба, чтобы вероятность отказа не превышала 0, 01?

Решение. Находим интенсивность потока обслуживания разговора в минуту. Коэффициент загрузки СМО составляет Из формул (19) при имеем:

Находим по формулам (20):

а) абсолютная пропускная способность:

(следовательно, СМО обслуживает в среднем 0, 75 заявки в минуту);

б) относительная пропускная способность:

(следовательно, вероятность обслуживания вновь поступившей заявки равна 0, 938);

в) вероятность отказа: ;

г) среднее число занятых каналов:

(следовательно, диспетчерская служба в среднем имеет половину линий связи постоянно занятыми).

Поскольку вероятность отказа данной диспетчерской службы превышает 0, 01, то число линий связи следует увеличить. Допустим, что линий связи стало 6. Тогда из формул (19) при получим:

Следовательно, при вероятность отказов превышает 0, 01. Значит, число каналов надо увеличить. При получим:

Следовательно, при вероятность отказов не превышает 0, 01. Таким образом, для обеспечения требуемой вероятности отказов следует увеличить количество линий связи диспетчерской службы до 7.

Задача 5

Дано В приёмо – отправочный парк станции поступает простейший поток поездов со средней интенсивностью 3 состава в час. Одна бригада осмотрщиков обрабатывает состав со средней продолжительностью 15 минут Время обработки распределено по показательному закону. Определить среднее число составов, ожидающих обслуживания; среднее время пребывания состава в парке; среднее время простоя поезда в ожидании обработки; среднее число составов в парке.

Решение. Приемо – отправочный парк можно рассматривать, как одноканальную СМО с неограниченной очередью. Интенсивность потока заявок состава в час. Интенсивность потока обслуживаний состава в час. Коэффициент загрузки парка . По формулам (26) находим:

среднее число составов, ожидающих обслуживания:

состава;

среднее время пребывания состава в парке:

ч;

среднее время простоя поезда в ожидании обработки:

ч;

среднее число составов в парке:

состава.

(28)

Задача 6

Дано. На сортировочной станции имеются две сортировочные горки. Выходящий поток поездов является простейшим. Среднее число составов, прибывающих на станцию в переработку за сутки равно 140. Горочный технологический интервал составляет 12 минут, время обслуживания подчинено показательному распределению. Найти показатели эффективности работы сортировочной станции.

Решение. Будем рассматривать сортировочную станцию, как СМО: поступающие составы – заявки на обслуживание; процесс расформирования составов – обслуживание. Тогда где час., т. е.

состава в час; где 12мии=0, 2 час., т. е.

составов в час.

Вычислим коэффициент загрузки СМО: , откуда

Так как , для данной СМО существует предельное распределение вероятностей состояний, вычисляемое по формулам (27):

Следовательно, с вероятностью 0, 262 состав застанет сортировочную станцию пустой (обе горки будут свободны). Вычислим вероятность того, что вновь прибывший состав застанет обе горки занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: обе горки заняты, очереди нет ; обе горки заняты, один состав в очереди ; обе горки заняты, два состава в очереди и т. д. Тогда

По формулам (28) находим показатели эффективности работы СМО:

среднее число составов в очереди на расформирование:

состава;

среднее число поездов на сортировочной станции:

состава;

среднее время пребывания состава на сортировочной станции:

мин;

среднее время ожидания составом расформирования:

мин

Задача 7

Дано. На контейнерную площадку с одним краном прибывает простейший поток автомашин со средним интервалом между ними, равным 10 минутам. Время погрузки – выгрузки в среднем составляет 6 минут. Время погрузки – выгрузки распределено по произвольному закону, среднее квадратическое отклонение времени погрузки – выгрузки равно 1 минуте. Определить среднее число автомашин на контейнерной площадке; среднее число автомашин, ожидающих погрузки – выгрузки; средний простой машин в ожидании погрузки – выгрузки; среднее время нахождения машины на контейнерной площадке.

Решение. Контейнерную площадку с одним краном можно рассматривать, как одноканальную СМО с неограниченной очередью, простейшим входящим потоком и произвольным распределением времени обслуживания. Найдем параметры СМО: (машин в мин);

(машин в мин);

По формулам (29) и (30) вычислим показатели работы СМО:

среднее число автомашин, ожидающих погрузки – выгрузки:

маш.;

средний простой машин в ожидании погрузки – выгрузки:

мин;

среднее число автомашин на контейнерной площадке:

маш.;

среднее время нахождения машины на контейнерной площадке:

мин.