Лабораторная работа №3. Процесс гибели и размножения

Процесс гибели и размножения. Процессом гибели и размножения называется Марковский процесс с непрерывным временем, размеченный граф состояний которого представлен на рис. 2.2.

λ ₀ λ ₁ λ ₂ λ _k-1 λ _k λ _n-1

… …

µ₁ µ₂ µ₃ µ_k µ_k+1 µ_n

Рис.2.2 Граф процесса гибели и размножения

Все состояния системы являются существенным, сообщающимися, следовательно, существуют предельные вероятности состояний.

Система уравнений для предельных вероятностей состояний имеет вид:

Решив эту систему, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(6)

Пример 3 Автоматизированная система управления (АСУ) продажи железнодорожных билетов состоит из трех параллельно работающих ЭВМ и нормально функционирует, если работает хотя бы одна ЭВМ. Среднее время безотказной работы одной ЭВМ – 5 суток, среднее время ремонта одной ЭВМ –3 суток. Поток отказов каждой ЭВМ простейший, время ремонта распределено по показательному закону. В начальный момент времени все три ЭВМ исправны. Найти среднюю производительность АСУ, если выход из строя одной ЭВМ снижает производительность АСУ на 10 %, а при отказе трех ЭВМ продажа билетов производится вручную, обеспечивая 20 % общей производительности.

Решение. Обозначим состояния АСУ по числу вышедших из строя ЭВМ: – три ЭВМ исправны; – одна ЭВМ вышла из строя; – две ЭВМ вышли из строя; – три ЭВМ вышли из строя.

Потоки отказов восстановлений простейшие. Следовательно, промежуток времени между отказами и промежуток времени между восстановлениями распределены по показательному закону с параметрами (интенсивностями) и соответственно.

Они вычисляются по формулам

где – среднее время безотказной работы ЭВМ; – среднее время восстановления ЭВМ.

По условию задачи суток, суток. Следовательно,

.

Размеченный граф состояний изображен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Размеченный граф состояний

Каждая из ЭВМ может за время выйти из строя с вероятностью . Следовательно, за время АСУ может перейти из состояния в состояние с вероятностью (из строя может выйти одна из трех ЭВМ). Тогда интенсивность перехода АСУ из состояния в состояние (коротко обозначим ) будет: .

Аналогично найдем: – интенсивность перехода ; – интенсивность перехода ; соответственно интенсивности переходов .

В описанной системе происходит процесс гибели и размножения с числом состояний . Используем формулы (6) для вычисления предельных вероятностей состояний:

Проверка: .

Выводы. Средняя производительность АСУ в установившемся режиме

ВАРИАНТЫ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ