Методические указания. Цель работы: Приобретение навыков использования регрессионного анализа для создания формальных компьютерных моделей технологического объекта.

Лабораторная работа № 4

ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Цель работы: Приобретение навыков использования регрессионного анализа для создания формальных компьютерных моделей технологического объекта.

Задачи: Используя в качестве примера ТО, определенный в ЛР1,

1. составить таблицу, связывающую изменение одной выходной переменной в зависимости от одной входной;

2. используя математический аппарат регрессионного анализа, построить линейную математическую модель ТО;

3. установить степень её адекватности, построить доверительную область.

Методические указания

Компьютерная модель (англ. computer model), или численная модель (англ. computational model) – компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров (вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы. Компьютерные модели являются инструментом математического моделирования и применяются в физике, астрофизике, механике, химии, биологии, экономике, социологии, метеорологии, других науках и прикладных задачах в различных областях радиоэлектроники, машиностроения, автомобилестроения и проч. Компьютерные модели используются для получения новых знаний о моделируемом объекте или для приближенной оценки поведения систем, слишком сложных для аналитического исследования.

Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу их возможности проводить вычислительные эксперименты, в тех случаях когда реальные эксперименты затруднены из-за финансовых или физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемого объекта-оригинала (или целого класса объектов), в частности, исследовать отклик моделируемой физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.

Построение компьютерной модели базируется на абстрагировании от конкретной природы явлений или изучаемого объекта-оригинала и состоит из двух этапов – сначала создание качественной, а затем и количественной модели. Компьютерное же моделирование заключается в проведении серии вычислительных экспериментов на компьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта и, при необходимости, последующее уточнение модели и т. д.

К основным этапам компьютерного моделирования относятся:

• постановка задачи, определение объекта моделирования;
• разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия;
• формализация, то есть переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы;
• планирование и проведение компьютерных экспериментов;
• анализ и интерпретация результатов^[2].

Различают аналитическое и имитационное моделирование. При аналитическом моделировании изучаются математические (абстрактные) модели реального объекта в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, а также предусматривающих осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению. При имитационном моделировании исследуются математические модели в виде алгоритма(ов), воспроизводящего функционирование исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Компьютерное моделирование применяют для широкого круга задач, таких как:

• анализ распространения загрязняющих веществ в атмосфере
• проектирование шумовых барьеров для борьбы с шумовым загрязнением
• конструирование транспортных средств
• полетные имитаторы для тренировки пилотов
• прогнозирование погоды
• эмуляция работы других электронных устройств
• прогнозирование цен на финансовых рынках
• исследование поведения зданий, конструкций и деталей под механической нагрузкой
• прогнозирование прочности конструкций и механизмов их разрушения
• проектирование производственных процессов, например химических
• стратегическое управление организацией
• исследование поведения гидравлических систем: нефтепроводов, водопровода
• моделирование роботов и автоматических манипуляторов
• моделирование сценарных вариантов развития городов
• моделирование транспортных систем
• конечно-элементное моделирование краш-тестов
• моделирование результатов пластических операций

Регрессионный анализ — метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает данные. Критерием качества приближения (целевой функцией) обычно является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной в качестве аргумента. Регрессионный анализ — раздел математической статистики и машинного обучения. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера распределения этой величины делаются предположения, называемые гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы выполняются статистические тесты, называемые анализом остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей в данных.

Регрессионный анализ – статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных Х₁, Х₂, …, Х_n на зависимую переменную Y. Экспериментальный метод основан на обработке экспериментальных данных.

Цели регрессионного анализа:

1. Определение степени детерминированности вариации зависимой переменной Y предикторами (значениями Х).

2. Предсказание значения зависимой переменной от независимых.

3. Определение вклада независимых переменных в вариацию зависимых.

На практике уравнения регрессии чаще всего представляют собой линейные функции у = b₀ + b1x1 + b2x2 +…+ b_nx_n

Также используются нелинейные регрессионные уравнения в виде полиномов

1-й, 2-й, 3-й степени.

Главное требование – наилучшее приближение искомой кривой. Делается это с помощью «метода наименьших квадратов», когда минимизируется сумма квадратов отклонения реальных от их оценок (оценки с помощью уравнения регрессии).

Задание.

Задавшись значениями переменных Х₁ , Х₂ и значениями переменной Y, исследуем влияние независимых переменных на зависимую с помощью линейной функции Y = b₀ + b1Х1 + b2Х2 +…+ b_nХ_n.

Таблица 1 – Отчёт по выполнению индивидуального задания.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятию «компьютерная модель».

2. Для чего и в каких областях знаний используются компьютерные модели?

3. В чём заключается компьютерное моделирование?

Определения:

Компьютерная (численная) модель

Компьютер

Суперкомпьютер

Моделирование

Вычислительный эксперимент

Начальные условия

Аналитическое моделирование

Имитационное моделирование

Математическая модель

Алгоритм

Программа

Постановка задачи

Логичность модели

Формализованность модели

Абстрагирование