Решение стохастических дифференциальных уравнений

Решение стохастических дифференциальных уравнений проиллюстрируем следующими примерами.

Пример 7.1. Процесс x(t) арифметического броуновского движения определяется начальным условием x(0)=x₀ и стохастическим дифференциальным уравнением

,

Решение. Применяя определение (7.3), получим

.

Пример 7.2. Процесс геометрического броуновского движения аналогично определяется начальным условием x(0)=x ₀ и стохастическим дифференциальным уравнением

.

Решение. Рассмотрим процесс

, (7.9)

применяя к которому формулу дифференцирования Ито, получим

,

то есть h(t) является процессом арифметического броуновского движения, поэтому в силу примера 7.1 его можно записать в виде

,

тогда в силу замены (7.9) процесс x(t) представим в виде

.

Так как, , то окончательно запишем

.

Пример 7.3. Для диффузионного процесса авторегрессии

.

Решение. В этом уравнении выполним замену

. (7.10)

Применяя формулу дифференцирования Ито, получим

,

следовательно

,

поэтому в силу замены (7.10) можно записать

.

Пример 7.4. Для процесса броуновского моста

.

Решение. В этом уравнении выполним замену

. (7.11)

Применяя формулу дифференцирования Ито, получим

,

следовательно

,

поэтому в силу замены (7.11) можно записать

. (7.12)

Здесь

,

следовательно

,

поэтому в силу (7.12) можно записать

.

Найдём математическое ожидание и дисперсию этого процесса

,

в частности, получим

, (7.13)

.

Так как приращения винеровского процесса на непересекающихся интервалах независимы, их математические ожидание равны нулю, а дисперсии равны длинам этих интервалов, то

,

поэтому

,

и, в частности,

. (7.14)

В силу равенств (7.14) и (7.13) можно говорить, что броуновский мост соединяет в среднем квадратическом точки и , что оправдывает название этого диффузионного случайного процесса.

Литература

1. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. – М.: Изд-во «Наука», 1969. – 512 с.

2. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.– 448 с.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр. и доп. – М.: КомКнига, 2005. – 400 с.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. – 448 с.

5. Маталыцкий М.А. Элементы теории случайных процессов: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2004. – 326 с.

6. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.

7. Назаров А.А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: учеб. пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.

8. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2004.

9. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. – М.: Сов. Радио, 1971.

Содержание

Введение. 1

Глава 1. Элементы теории случайных процессов. 2

Определение и описание случайного процесса. 2

Задачи для самостоятельного решения. 5

Статистические средние характеристики случайных процессов. 8

Стационарные случайные процессы.. 10

Свойства функции корреляции. 11

Эргодические случайные процессы.. 14

Задачи для самостоятельного решения. 16

Глава 2. Цепи Маркова с дискретным временем.. 21

Основные определения. 21

Цепи Маркова с дискретным временем.. 22

Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем.. 26

Структура периодического замкнутого класса. 29

Классификация состояний цепи Маркова по асимптотическим свойствам переходных вероятностей 30

Эргодические теоремы для цепей Маркова. 31

Вероятностно-временные характеристики цепи Маркова. 33

Задачи для самостоятельного решения. 38

Глава 3. Цепи Маркова с непрерывным временем.. 46

Дифференциальные уравнения Колмогорова. 48

Финальные вероятности. 51

Время перехода из одного состояния в другое. 52

Статистический смысл финальных (стационарных) вероятностей. 53

Время пребывания цепи Маркова в j -ом состоянии. 53

Процессы гибели и размножения. 55

Процесс чистого размножения. 57

Простейший поток. 57

Основные вероятностные характеристики простейшего потока. 60

Задачи для самостоятельного решения. 64

Глава 4. Элементы теории массового обслуживания. 70

Система массового обслуживания, основные определения и классификация. 70

Система M/M/1/¥ (с очередью) 74

Система M/M/N.. 75

Задачи для самостоятельного решения. 77

Глава 5. Непрерывные марковские процессы.. 83

Определение диффузионного случайного процесса. 84

Обратное уравнение Колмогорова. 85

Прямое уравнение Колмогорова. Уравнение Фоккера-Планка. 86

Некоторые частные случаи уравнения Фоккера-Планка. 86

Допредельная модель диффузионного процесса. 89

Глава 6. Стохастические интегралы.. 91

Стохастический интеграл в форме Ито. 91

Особенность стохастического интеграла в форме Ито. 91

Стохастический интеграл в форме Стратановича. 92

Связь интегралов Ито и Стратановича. 93

Глава 7. Стохастические дифференциальные уравнения. 94

Определение стохастических дифференциальных уравнений. Свойства их решений. 94

Формула дифференцирования Ито. 96

Решение стохастических дифференциальных уравнений. 97

Литература. 101

Содержание. 102