Процессы гибели и размножения

Процессом гибели и размножения называется однородная марковская цепь с непрерывным временем и счетным множеством состояний X={0, 1, 2, …}, в которой за время D t из состояния i возможен лишь непосредственный переход в состояния i –1 и i +1, то есть для инфинитезимальных характеристик будут выполнены следующие условия:

, , ,

, ,

для остальных значений .

Такие процессы хорошо описывают задачи в области биологии, физики, социологии, массового обслуживания. Состояние процесса можно интерпретировать, например, как число особей некоторой популяции, переход из состояния i в i +1 – как рождение новой особи, а переход из состояния i в i –1 – как гибель некоторой особи.

Процессы гибели и размножения принято изображать в виде размеченного графа состояний, следующего вида

Рис. 6.

Вершина графа обозначает состояние цепи Маркова. Ребра графа ориентированы и показывают возможные переходы из одного состояния в другое. В графе рисуют лишь те ребра, которые показывают переходы с ненулевыми инфинитезимальными характеристиками. Эти характеристики обычно пишут рядом с ребрами и называют весами ребер. Удобство такого способа описания марковских процессов заключается в его наглядности и возможности реализации простого правила построения системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Правило: производная по времени от вероятности состояния в момент времени t равна сумме произведений вероятностей состояний на веса ребер, входящих в данное состояние (как будто вероятности втекают в данное состояние), минус произведение вероятности рассматриваемого состояния на сумму весов всех ребер, выходящих из него (как будто вероятность вытекает из рассматриваемого состояния).

Прямая и обратная системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей p_ij (t)процессов гибели и размножения имеют вид:

,

.

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P_i(t)=P{i(t)=i} соответственно записывается в виде:

,

,

Система уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей p _j:

,

,

.

Для решения полученной системы можно применить метод Хинчина. Обозначим

,

тогда из системы уравнений следует, что

, ,

следовательно, имеет место равенство

,

откуда получаем равенство

.

Вероятность p₀ найдём из условия нормировки

.

Здесь возможны два случая, связанные со сходимостью ряда:

1) ,

тогда стационарные вероятности существуют и равны

.

2) ,

тогда не существует стационарного распределения для рассматриваемого процесса гибели и размножения.