Структура периодического замкнутого класса

Пусть d> 1 период замкнутого класса S. Несмотря на сложность переходов внутри класса, можно обнаружить некоторую цикличность в переходах из одной группы состояний в другую. Покажем это.

Выберем некоторое начальное состояние k и определим следующие подклассы:

,

,

………………………………………

.

Очевидно, что S=C ₀+ C ₁+…+ C_{d- 1}. Покажем, что за один шаг система переходит из подкласса C_p в подкласс C_{p+ 1}, а из подкласса C_{d- 1} в подкласс C ₀ и так далее по этому циклу.

Пусть i Î C_p и p_ij> 0. Покажем, что j Î C_{p+ 1}.

Так как i Î C_p, то p_ki (n) > 0 для n = p (mod d). Тогда за число шагов n+ 1= p+ 1(mod d). система переходит в класс C_{p+ 1}, то есть p_ki (n+ 1) > 0 и что j Î C_{p+ 1}.

Подклассы C_p состояний периодического замкнутого класса S называются циклическими подклассами.

Из приведённых рассуждений видно, что матрицу вероятностей переходов периодического замкнутого класса можно представить в следующем виде

,

в котором элементы матрицы, неравные нулю отмечены символом .

Возвращаясь к циклическим подклассам, можно сделать вывод о том, что если в начальный момент времени система находится в состоянии подкласса C ₀, то в момент времени n=1+dr, r=0, 1, 2, …, она будет находиться в подклассе C ₁. Следовательно, с каждым из подклассов C ₀, C ₁ можно связать новую марковскую цепь с матрицей вероятностей переходов { p_ij (2), i, j Î C_p }, p =1, 2,, которая будет неразложимой и апериодической. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении предельных свойств вероятностей p_ij (n), при n® ¥, можно ограничиться только эргодическими классами.