Свойства функции корреляции

Рассмотрим основные свойства функции корреляции R _x(t₁, t₂) случайного процесса x(t).

1. Функция корреляции является симметрической функцией своих аргументов

,

что следует непосредственно из определения.

Для стационарных процессов функция корреляции – чётная функция

.

2. Для корреляционной функции выполняется неравенство

.

Для стационарных случайных процессов это неравенство означает, что в нуле функция корреляции достигает наибольшего значения.

3. Если для стационарного случайного процесса при t®¥ случайные величины x(t) и x(t+t) стохастически независимы, то

.

Тогда среднее значение процесса можно выразить через его функцию корреляции

.

Далее, используя определение дисперсии процесса, запишем

.

Таким образом, среднее значение и дисперсию стационарного случайного процесса можно найти, если известна его функция корреляции.

4. Функция корреляции случайного процесса является положительно определённой, то есть для " n произвольных действительных чисел l₁, l₂, …, l_n, выполняется неравенство

.

5. Корреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме корреляционных функций слагаемых плюс сумма всех взаимных корреляционных функций этих слагаемых.

Это означает, что для

.

Для некоррелированных слагаемых с нулевыми средними значениями имеем

.

Для решения задач на практике можно использовать ряд свойств функции корреляции, доказательство которых следует из определения.

Пусть заданы неслучайные функция j(t) и y(t), случайные процессы x(t) и h(t) и их корреляционные функции R_x (t ₁, t ₂) R_h (t ₁, t ₂), ковариационные функции K_x (t ₁, t ₂), K_h (t ₁, t ₂), взаимная функция корреляции R_xh (t ₁, t ₂).

1. Если случайный процесс задан соотношением то

.

2. Если случайный процесс задан соотношением тогда

.

3. Если случайный процесс задан соотношением тогда

.

4. Если случайный процесс задан соотношением тогда

.

Пример 1.7. Пусть случайный процесс tÎ T, где Y_i –некоррелированные случайные величины математическими ожиданиями m_i и дисперсиями D_i, а j_i(t) – заданные на T детерминированные функции. Найти m_x(t), D_x(t) и R_x(t, s).

Решение. Согласно определениям имеем

,

,

,

.

Наряду с корреляционной функцией для стационарных случайных процессов широко используется, так называемая, спектральная плотность S _x(w), которая определяется следующим образом

и иногда интерпретируется как средняя мощность гармонической составляющей частоты w электрического сигнала x(t).

Пример 1.8. Корреляционная функция случайного процесса задана в виде , где . Определить спектральную плотность соответствующего случайного процесса.

Решение. Спектральная плотность определяется по формуле:

.

Исходя из условий задачи, представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

.

Вычислим

.