Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим

;

Ответ: l = 0, 023.

Задача 8. Груз массой т = 0, 5 кг, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой k = 50 , помещен в масло. Коэффициент трения в масле r = 0, 5 . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону Н. 1) При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? 2) Чему равна максимальная амплитуда? 3) Какова амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое больше резонансной?

Дано: Решение

т = 0, 5 кг

k = 50

r = 0, 5

Н

; с^-1.

Коэффициент затухания с^-1.

Можно считать и тогда с^-1.

Амплитуда вынужденных колебаний

;

при резонансе , тогда

м.

Если то

м.

Ответ: w = 10 с^-1; = 0, 4 м; = 0, 013 м.

Задача 9. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси х с периодом Т = 10 с и амплитудой А = 5 см. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние равное: 1) половине амплитуды, 2) амплитуде. Задачу решить при условии, что начальная фаза 1) и 2) рад.

Дано: Решение

Т = 10 с

А = 5 см = 0, 05 м

-? -?

,

при t = 0 х = А, т.е. точка начинает движение из крайнего положения, скорость точки равна нулю. С течением времени координата уменьшается:

, (2)

- по условию, тогда , так как , то , откуда и , с.

Подставляя в уравнение (2) , получим , т.е. . Смещение равно нулю, значит точка находится в положении равновесия

, т.е. и , с.

Таким образом, если материальная точка движется из крайнего положения к положению равновесия, то первую половину амплитуды она проходит с меньшей скоростью, скорость увеличивается и при прохождении положения равновесия достигает максимального значения.

2) Начальная фаза , уравнение (1) принимает вид

, (3)

при t = 0 , т.е. точка начинает движение из положения равновесия. Подставляя в уравнение (3) значение , получим , откуда , следовательно , откуда и с.

Подставляя в уравнение (3) значение , получим , откуда следовательно, , откуда с.

Итак, если материальная точка движется из положения равновесия, то первую половину амплитуды она проходит быстрее, чем вторую, т.е. скорость уменьшается, и в крайнем положении скорость равна нулю. Двигаясь из любого положения, смещение равное амплитуде, точка проходит за время, равное периода.

Ответ: 1) = 1, 67 с, с; 2) = 0, 83 с, с.