Примеры решения задач. Задача 1. По соленоиду течет ток I = 2 А

Задача 1. По соленоиду течет ток I = 2 А. Магнитный поток Ф_m, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 ^.10^-6 Вб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет N = 800 витков.

Дано:

I = 2 А

Ф_m = 4 ^.10^-6 Вб

N = 800 витков

L -?

ному со всеми N витками соленоида, когда по нему идет ток, равный единице силы тока, т.е.

,

где y - потокосцепление, равное

.

Тогда

.

Подставим численные значения и вычислим L:

= 1, 6 ^.10^-3 Гн.

Ответ: L = 1, 6 ^.10^-3 Гн.

Задача 2. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 , то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции, равное 0, 08 В. Найти индуктивность соленоида.

Дано: Решение

= const 1. По закону Фарадея - Ленца

< E_s > = 0, 08 В ,

L -? где y - потокосцепление.

2. Потокосцепление равно y = L I, тогда , так как индуктивность соленоида не изменяется.

3. Если ток в соленоиде изменяется по произвольному закону, то выражает среднее изменение тока в единицу времени, тогда выражает среднее значение < E_s > за интервал времени D t.

Следовательно,

.

Вычислим значение индуктивности:

= 1, 6 ^.10^-3 Гн.

Ответ: L = 1, 6 ^.10^-3 Гн.

Задача 3. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода d = 0, 2 мм, диаметр соленоида D = 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку соленоида, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Дано:

d = 0, 2 мм = 2 ^.10^{- 4} м

D = 5 см = 5 ^.10^-2 м

I = 1 А

r_меди = 1, 7 ^.10^-8 Ом^.м

q -?

По закону Ома

,

где R – сопротивление соленоида, а I – индукционный ток, текущий через соленоид при замыкании обмотки.

Тогда

По закону Фарадея - Ленца

Тогда

.

Интегрируя полученное выражение, получаем

где - начальное потокосцепление, - конечное.

Потокосцепление y пропорционально силе тока в соленоиде, следовательно,

, а = 0,

так как ток в этот момент обратится в нуль.

Тогда

или

Индуктивность соленоида равна

,

где l – длина соленоида.

Сопротивление

,

где l_пр – длина медного провода, S ₂ – его площадь.

Длина провода

l_пр = p D N,

где p D – длина одного витка, N – число витков, S ₂ = – площадь сечения провода.

Тогда

.

Подставим индуктивность и сопротивление в формулу заряда:

.

Длина соленоида находится из соотношения

,

где d – диаметр провода, а N – число витков соленоида (витки плотно прилегают друг к другу).

Тогда

.

Подставим числа и вычислим

Кл.

Ответ: q = 1, 45 ^.10^-4 Кл.

Задача 4. Соленоид с железным сердечником длиной 50 см и площадью сечения S = 10 см² имеет 1000 витков. Найти индуктивность этого соленоида при токах: 1) I = 0, 1 А; 2) I = 0, 2 А; 3) I = 2 А.

Дано:

l = 50 см = 0, 5 м

S = 10 см² = 10^-3 м²

N = 1000

1) I = 0, 1 А

2) I = 0, 2 А

3) I = 2 А

L -?

среда обладает свойством намагничиваться, то m ¹ 1. Железо является ферромагнетиком, оно сильно намагничивается при внесении в магнитное поле, m _железа» 1. При протекании тока по соленоиду создается однородное магнитное поле, напряженность которого

.

Индукция магнитного поля ,

.

Магнитная проницаемость зависит от Н, а Н – от тока I. Зависимость μ от Н представлена на рис. 16.5.

Рис.16.5

Зная напряженность магнитного поля, созданного током I, можно найти индукцию магнитного поля В для данного значения напряженности, воспользовавшись графиком зависимости В от Н (см. прил.), а затем вычислить μ - магнитную проницаемость для данного тока I в соленоиде.

= 400 .

.

.

Из графика определяем

В ₁ = 0, 8 Тл, В ₂ = 1, 2 Тл и В ₃ = 1, 6 Тл.

Вычислим значение .

Тогда

Гн.

Гн.

Гн.

Ответ: L ₁ = 8 Гн, L ₂ = 6 Гн, L ₃ = 0, 8 Гн.

Задача 5. На соленоид с немагнитным сердечником длиной 0, 2 м и площадью поперечного сечения 3^.10^-3 м² надет проволочный виток. Число витков соленоида N ₁ = 320. Какая средняя ЭДС взаимоиндукции возникнет в витке, если ток соленоида I = 3 А выключить в течение D t = 0, 001 с.

Дано:

l = 0, 2 м

S = 3 ^.10^-3 м²

N ₁ = 320

N ₂ = 1

I ₁ = 3 А

I ₂ = 0

D t = 0, 001 с

< Е_вз > -?

4)

5) , D I = I ₂ – I ₁ = 0 – I ₁, m = 1 (сердечник немагнитный).

В.

Ответ: < Е_вз > = 0, 018 В.

Задача 6. На один немагнитный сердечник намотаны две катушки, имеющие индуктивности L ₁ = 0, 2 Гн и L ₂ = 0, 8 Гн. Какой ток потечет во второй катушке, если ток I ₁ = 0, 3 А в первой катушке выключить в течение 0, 001 с. Сопротивление второй катушки R ₂ = 600 Ом.

Дано:

L ₁ = 0, 2 Гн

L ₂ = 0, 8 Гн

I ₁ = 0, 3 А

R ₂ = 600 Ом

D t = 0, 001 с

I ₂ -?

Решая эти три уравнения, получаем

,

то есть

.

Тогда

.

Подставляя численные значения, находим

А.

Ответ: I ₂ = 0, 2 А.

Задача 7. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см² намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0, 5 А.

Дано:

l = 50 см = 0, 5 м

S = 2 см² = 2 ^.10^-4 м²

= 20 = 2^.10³

I = 0, 5 А

W_т -?

Индуктивность

,

где - объем соленоида, - магнитная постоянная, = 4 p ·10^-7 .

,

где В – индукция магнитного поля внутри соленоида, Н – напряженность.

Подставив в формулу энергии индуктивность и магнитную проницаемость, получим

,

.

Найдем величину Н

Н = 2 ^.10^{3 .} 0, 5 = 10³ .

Тогда величину В можно найти из графика зависимости В от Н (см. прил.).

При Н = 10³ В = 1, 3 Тл.

Вычислим энергию магнитного поля

= 0, 065 Дж.

Ответ: W_т = 0, 065 Дж.

Задача 8. При индукции магнитного поля В = 1 Тл объемная плотность энергии магнитного поля в железе w_т = 200 . Какова магнитная проницаемость m железа в этих условиях?

Дано:

В = 1 Тл

w_т = 200

m -?

Из второй формулы можно определить m непосредственно:

Вычислим m:

.

Ответ: m = 2000.

Задача 9. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) w = 0, 2 . Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник?

Дано:

I ₁ = I ₂

H ₁ = I ₁ n, H ₂ = I ₂ n, I ₁ = I ₂, H ₁ = H ₂;

. (2)

При одном и том же токе напряженность поля будет одна и та же.

(нет сердечника).

Тогда

.

Из формулы (1) следует

.

Из графика зависимости В от Н (см. приложение) находим

В ₂ = 1 Тл, В ₂ = Н.

Тогда

;

.

Ответ: .

Задача 10. Катушка имеет сопротивление R = 10 Ом и индуктивность L = 0, 144 Гн. Через сколько времени после выключения в катушке возникнет ток, равный половине установившегося?

Дано:

R = 10 Ом

L = 0, 144 Гн

t -?

,

где I ₀ – установившийся ток в катушке (начальный ток), I – ток в момент времени t, R – сопротивление катушки, L – ее индуктивность.

Тогда

;

с.

Ответ: t» 9 ^.10^-3 с.