Как распределить средства между предприятиями, чтобы в сумме они дали максимальный доход?

Применим для решения задачи общую схему метода ДП.

1. Будем считать за первый шаг вложение средств в первое предприятие , за второй шаг − в предприятие , и т.д., то есть номер шага совпадает с номером предприятия.

2. Управляемая система в данном случае − средства или ресурсы, которые распределяются. Состояние системы перед -ым шагом характеризуется одним числом − наличным запасом еще не вложенных средств. Конечное состояние системы , так как все наличные средства должны быть распределены между предприятиями. «Шаговыми управлениями» являются средства , выделяемые предприятиям, тогда

, , .

3. Наличный запас средств после -ого шага выражается уравнением: .

4. В качестве функции прибыли -ого шага (целевая функция -ого шага) выберем функцию прибыли -ого предприятия: , тогда суммарная функция прибыли задачи будет иметь вид:

.

5. Для последнего -ого шага уравнение Беллмана будет иметь вид:

.

Очевидно, что максимум будет достигаться, если последнему предприятию отдать все имеющие к -ому шагу средства, то есть и, следовательно, .

Уравнения Беллмана для -ого шага:

.

Далее последовательно решим уравнения Беллмана и выпишем последовательность оптимальных управлений.

Пример. Планируется деятельность четырех промышленных предприятий (системы) на 1 год. Начальные средства условных ед. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 усл. ед. Средства , выделенные -ому предприятию (), приносят в конце года прибыль . Функции заданы таблично (табл. 1). Принято считать, что:

· прибыль не зависит от вложения средств в другие предприятия;

· прибыль от каждого предприятия выражается в одних условных единицах;

· суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Таблица 1