Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью

Определение. СВ и , для которых корреляционный момент , называются некоррелированными.

Учитывая, что

,

получаем: СВ и являются некоррелированными тогда и только тогда, когда .

Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости СВ всегда следует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если СВ являются коррелированными, так, что , то они являются зависимыми.

Пример.

Равномерное распределение в круге .

Ранее были найдены одномерные ПВ координат вектора :

и установлено, что СВ и являются зависимыми, так как .

Найдем корреляционный момент СВ и .

в силу нечетности подинтегральной функции и симметричности относительно нуля пределов интегрирования.

По аналогичным соображениям Найдем .

также в силу нечетности подинтегральной функции.

Таким образом, и, следовательно, СВ и являются зависимыми, но некоррелированными.

Понятие некоррелированности СВ играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.

Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).

Для любых действительных чисел и любых СВ и , имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если и СВ и являются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии:

.

▲ Доказательство теоремы основано только на свойствах МО и определении корреляционного момента :

.■.

По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа СВ следующим образом.

Для любых действительных чисел и СВ , имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если все , а СВ являются попарно некоррелированными (), то имеет место свойство аддитивности дисперсии:

.