Плотность вероятностей и ее свойства

Снова начнем с рассмотрения двумерного .

Определение. называется непрерывным () (или имеющим непрерывный закон распределения), если существует такая функция , двух действительных переменных, что для любой точки ФР допускает представление:

. (3.5)

Функция при этом называется плотностью вероятностей (ПВ) или двумерной плотностью вероятностей или совместной плотностью вероятностей случайных величин и .

Везде далее будем предполагать, что ПВ непрерывна на всей плоскости, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Из определения (3.5) следует:

1. ФР является непрерывной по и по

(как двойной интеграл с переменными верхними пределами);

2. ФР является дифференцируемой по и по во всех точках , являющихся точками непрерывности двумерной ПВ , и при этом имеет место равенство:

(3.6)

(также по свойствам двойного интеграла с переменными верхними пределами).

Вероятностный смысл двумерной ПВ.

Из (3.6), определения производной и свойства 6 двумерной ФР получаем, что

.

Таким образом, плотность вероятностей - это предел отношения вероятности попадания непрерывного случайного вектора в прямоугольник со сторонами и , параллельными осям координат, к площади этого прямоугольника, когда длины обеих сторон стремятся к нулю (при интерпретации вероятности как массы, приходящейся на элементарный прямоугольник , получаем, что есть плотность массы в точке ).

При малых и можно также записать, что

. (3.7)

Свойства плотности вероятностей случайного вектора :

1. .

▲ Поскольку ФР является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (3.6) ■.

2. - условие нормировки.

▲ Из представления (3.5) следует, что , а в соответствии со свойством 4 двумерной ФР ■.

3. Вероятность попадания в любую область определяется формулой:

.

▲ Разобъем множество на

элементарных непересекающихся

прямоугольников со сторонами,

параллельными осям координат и

равными и , .

Так как в соответствии с (3.7)

и , то в силу аддитивности вероятности имеем:

.

Последняя сумма является интегральной, и поэтому предельный переход при приводит к равенству

■.

4. Координаты с ПВ являются НСВ с ПВ соответственно (маргинальные ПВ), определяемыми формулами:

, (3.8)

в точках непрерывности функций и

▲ Из представления (3.5) следует, что

.

Дифференцируя обе части этого равенства по , в точках непрерывности функций и получаем:

.

Аналогично,

и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по , имеем:

в точках непрерывности функций и ■.

Пример. (Равномерное распределение в области ).

Говорят, что имеет равномерное распределение в области , если его ПВ постоянна внутри области :

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть ,

где - площадь области .

а) Равномерное распределение в прямоугольнике.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные ПВ координат .

В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ

.

Таким образом, то есть .

Аналогично,

.

Таким образом, то есть .

б) Равномерное распределение в круге.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге , если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные ПВ координат .

В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ

.

Таким образом,

Аналогично

.

Таким образом,

Все приведенные выше определения и формулы для двумерного легко обобщаются на случай -мерного случайного вектора .

Определение. называется непрерывным (), если существует такая функция действительных переменных, что для любой точки ФР допускает представление:

.

Функция при этом называется плотностью вероятностей (ПВ) или многомерной ( -мерной) ПВ, или совместной ПВ СВ .

Во всех точках , являющихся точками непрерывности ПВ , имеет место равенство:

.

Свойства многомерной плотности вероятностей :

1. .

2. - условие нормировки.

3. Вероятность попадания случайного вектора в любую область определяется формулой:

;

4. Если - с ПВ , то при любом также является непрерывным и имеет ПВ, определяемую формулой:

.