Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.

Часто в вероятностных моделях случайных явлений приходится рассматривать сразу несколько СВ, причем изучение каждой СВ отдельно от других приводит к недопустимому упрощению модели. Математической моделью таких случайных явлений является понятие случайного вектора ().

Определение. Совокупность случайных величин , значения которых совместно описывают результат некоторого случайного явления, называется -мерным случайным вектором (многомерной СВ или системой СВ) и обозначается . При этом сами СВ , называют координатами (компонентами, составляющими) .

Исчерпывающей вероятностной характеристикой является его функция распределения (ФР). Рассмотрим вначале случай двумерного случайного вектора , как наиболее часто встречающийся в практических приложениях, а потом полученные результаты обобщим на случай многомерный.

Двумерный обычно обозначают (без введения индексов).

Определение. ФР называется функция двух действительных переменных и , определяемая при каждом равенством:

. (3.1)

ФР называют также двумерной ФР или совместной ФР СВ и .

Геометрически ФР представляет собой вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке .

Из определения (3.1) вытекают следующие свойства ФР .

Свойства двумерной ФР.

1. для любых .

(свойство очевидно, так как ФР - вероятность).

2. является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2 полностью аналогично одномерному случаю. ■.

3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 3 полностью аналогично одномерному случаю ■.

4. ; .

▲ В силу свойства 5 вероятности

;

;

.

В силу аксиомы нормированности

■.

5. ,

где и - функции распределения координат и соответственно.

Свойство 5 означает, что по функции распределения двумерного случайного вектора всегда можно найти одномерные (маргинальные) функции распределения его координат. Обратное без дополнительной информации неверно.

▲ В соответствии со свойствами вероятности имеем:

;

■.

6. Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

▲ Обозначим

;

;

;

.

Очевидно, что . При этом события и являются несовместными, а . Поэтому по теореме сложения вероятностей получаем:

.

Остается теперь учесть, что , ,

, ■.

Аналогичными являются определение и свойства многомерной ФР.

Определение. Функция действительных переменных, определяемая для любого равенством

,

называется функцией распределения случайного вектора или многомерной ( -мерной) ФР или совместной ФР СВ .

Свойства многомерной ФР.

1. для любых .

2. является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

4. , если хотя бы один из аргументов .

.

5. (Свойство согласованности). По ФР можно получить ФР любой совокупности из его координат. Для этого следует в ФР положить аргументы для .

Многомерный аналог свойства 6 двумерной ФР приводить не будем из-за необходимости введения разностных операторов и его громоздкой записи.

В приложениях, как правило, имеют дело со двух типов: дискретными и непрерывными. В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем ФР, способы задания .