Применение метода моментов для определения закона распределения.

Коэффициент асимметрии А и эксцесс Е нормального распределения равны нулю.

Применение критериев согласия для определения нормального закона распределения.

Пусть имеется эмпирическое распределение признака Х, в котором . Это распределение можно рассматривать как случайную выборку объема n из некоторой генеральной совокупности. Предположим, что на основе данного эмпирического распределения мы установили теоретическое распределение признака Х в генеральной совокупности, составили теоретическую функцию распределения и вычислили теоретические частоты , ,..., соответствующих значений , ,..., признака Х.

Очевидно, что теоретические частоты могут не совпадать с соответствующими эмпирическими частотами . Расхождения между ними зависят от случайных обстоятельств, при которых было получено эмпирическое распределение, и от функции F(x), с помощью которой были вычислены теоретические частоты.

При сравнении теоретического и эмпирического распределения мерой их близости служат так называемые критерии согласия.

Критерий согласия – это правило, которое, опираясь на известный закон распределения определенного вида расхождений между теоретическими и эмпирическими частотами или между теоретической и эмпирической функциями распределения, дает возможность установить, когда это расхождение является несущественным, то есть случайным, а когда существенным, то есть неслучайным.

Существует несколько критериев согласия: критерий Пирсона ( - критерий), критерий Колмогорова, критерий Смирного, критерий Романовского и др. Рассмотрим критерии согласия Пирсона и Колмогорова как наиболее простые и удобные для вычислений.

Критерий Колмогорова. В этом критерии в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривается максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

,

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х, при неограниченном увеличении числа наблюдений () вероятность неравенства стремится к пределу

Задавая уровень значимости a, из соотношения можно найти соответствующее критическое значение . В таблице 3 приводятся критические значения критерия Колмогорова для некоторых a.

Уровень значимости a	0, 10	0, 05	0, 025	0, 01	0, 005	0, 001
Критические значения	1, 22	1, 36	1, 48	1, 63	1, 73	1, 95

Таблица 3. Критические значения

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x).

2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением D и вычисляется величина .

3. Если вычисленное значение l окажется больше критического , определяемого по уровню значимости , то нулевая гипотеза о том, что признак Х генеральной совокупности имеет заданный закон распределения, отвергается Если , то считают, что нет оснований отвергать гипотезу .

Критерий Колмогорова часто используется на практике благодаря своей простоте. Но его применение возможно лишь тогда, когда теоретическая функция распределения F(x) задана полностью, что на практике встречается не всегда. Следует иметь в виду также, что критерий Колмогорова применим только к случайным величинам, изменяющимся непрерывно.

Критерий Пирсона. При решении вопроса о согласовании между эмпирическим и теоретическим распределением английский биолог К. Пирсон рассматривал расхождения между эмпирическими частотами , полученными в результате наблюдения, и соответствующими теоретическими частотами , рассчитанными, исходя из предположения о законе распределения.

Теоретические частоты можно рассчитать по формуле

,

где - теоретическая вероятность, вычисленная в предположении, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения, а n – объем выборочной совокупности.

Для интервального ряда теоретическая вероятность вычисляется по формуле

,

где Ф(t) – функция Лапласа, а и - оценки параметров предполагаемого нормального распределения.

Для дискретного ряда теоретическая вероятность вычисляется по формуле

,

где ; - дифференциальная функция нормированного нормального распределения, - шаг.

Поскольку теоретические частоты и эмпирические частоты могут не совпадать, встает вопрос о том, насколько существенны расхождения между ними. В качестве меры расхождения между и соответствующими Пирсон употребил величину

,

имеющую распределение (хи-квадрат) с k=S-r-1 степенями свободы. S – число частичных интервалов в случае интервального ряда и число различных значений в случае дискретного ряда, r – число параметров проверяемого распределения. Так как для нормального распределения r=2, число степеней свободы k = S-3.

Схема применения критерия Пирсона сводится к следующему:

1. Находится наблюдаемое значение

2. Для выбранного уровня значимости по таблице - распределения находится критическое значение , где k = S-3

3. Если , то гипотеза о том, что признак Х имеет нормальный закон распределения отвергается. Если же , то нет оснований отвергать гипотезу , по выборочным данным признак Х генеральной совокупности имеет нормальный закон распределения.

Замечание. Для применения критерия Пирсона необходимо выполнение следующих условий:

1. Выборка должна состоять не менее, чем из 50 элементов

2. В каждом интервале должно быть не менее 5 наблюдений. Если в каком – нибудь интервале число наблюдений меньше 5, имеет смысл объединить соседние интервалы, чтобы в объединенных интервалах число значений было не менее 5. В этом случае при вычислении числа степеней свободы в качестве величины S берется соответственно уменьшенное число интервалов.