Дополнительные задачи

Вариант №13

1.) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше меньшего катета на 9 см., а периметр равен 40 см. Найти стороны.

2.) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. На какие отрезки разделилась гипотенуза?

3.) Определить диагонали ромба, если они относятся, как 3: 4, а периметр равен 1 м.

4.) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая — в отношении 3: 8. Определить длину второй хорды.

5.) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.

6.) В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.

Вариант №14

1.) В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части в 20 см и 21 см. Определить боль­шую боковую сторону.

2.) В прямоугольном треугольнике биссек­триса прямого угла делит гипотенузу в отноше­нии 7: 9. В каком отношении (считая части в том же порядке) делит её высота?

3.) В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Определить высоту трапеции.

4.) Радиус равен R, хорда данной дуги равна а. Определить хорду удвоенной дуги.

5.) Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

6.) Определить радиус круга, описанного около равнобедрен­ного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 24 м и 13 м.

Вариант №15

1.) В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40: 41.

2.) Определить катеты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в 15 см и 20 см.

3.) В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 41 см, высота равна 4 дм и средняя линия 45 см. Определить основание.

4.) Х орда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличил­ся в 2 раза. Как изменился отрезок MB?

5.) На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: АВ = 6 см и ВС = 8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, ка­сается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точ­ка D первой (считая от А) или второй точкой пересечения.

6.) Определить радиус круга, описанного около равнобедрен­ного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 6 дм и 5 дм.

Вариант №16

1.) Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определить длину перпендикуляра, если наклон­ные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относят­ся, как 3: 10.

2.) В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?

3.) В прямоугольной трапеции основания равны 17 дм и 25 дм, а большая боковая сторона равна 10 дм. Из середины этой стороны проведён перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра.

4.) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, другая — пополам. Определить длину второй хорды.

5.) Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведён­ная из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

6.) Расстояния от одного конца диаметра до концов параллель­ной ему хорды равны 13 см и 84 см. Определить радиус круга.

Вариант №17

1.) Боковые стороны треугольника равны: а = 25 см и b = 30 см, а высота h_с = 24 см. Определить основание с.

2.) В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки т и п (т> п). Определить другой катет и гипотенузу.

3.) Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм. Определить его высоту.

4.) Две параллельные хорды АВ и CD распо­ложены по одну сторону от центра О окружно­сти радиуса R = 30 см. Хорда АВ — 48 см, хорда CD = 36 см. Определить расстояние между хордами.

5.) Из одной точки проведены к окружности секущая и касатель­ная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются числами 1 и 2.

6.) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Определить её рас­стояние от центра.

Вариант №18

1.) В двух равнобедренных треугольниках боковые стороны имеют одинаковую длину, а сумма углов при вершинах равна 180°. Основания относятся, как 9: 40, а длина боковой стороны равна 41 дм. Определить основания.

2.) В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 15 дм и 2 м, проведены: высота из вершины прямого угла и биссект­рисы обоих углов, образуемых высотой с катетами. Определить от­резок гипотенузы, заключённый между биссектрисами.

3.) Определить сторону квадрата, если она меньше диагонали на 2 см.

4.) Радиус круга равен R. Определить длину хорды, проведённой из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.

5.) Пусть будет: АВ — касательная и ACD — секущая той же окружности. Требуется определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см.

6.) Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 см и 15 см, а общая хорда равна 24 см. Определить расстояние между центрами.

Вариант №19

1.) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а больший катет равен 6 см. Определить две другие стороны этого тре­угольника.

2.) В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС = 6 см и гипотенуза АВ = 10 см. Проведены биссектрисы угла ABC и угла, с ним смежного, пересекающие катет АС и его продолжение в точ­ках D и Е. Определить длину DE.

3.) Сторона квадрата равна а. Чему равна его диагональ?

4.) Радиус круга равен 25 см, а две параллельные хорды равны 14 см и 40 см. Определить расстояние между ними.

5.) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соот­ветственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.

6.) В круг вписан прямоугольник, стороны которого относятся, как 8: 15. Определить эти стороны, если радиус круга равен 34 см.

Вариант №20

1.) АС и СВ — катеты;. CD — высота; DE ┴ АС и DF ┴ СВ. Определить DE и DF, если АС = 75 дм и ВС = 100 дм.

2.) В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона АВ — — 10 м и основание АС — 12 м. Биссектрисы углов A и С пере­секаются в точке D. Требуется определить BD.

3.) Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему равна его диагональ?

4.) О — центр; АСВ — хорда; OCD — радиус, перпендикуляр­ный к ней, ОС = 9 см и CD = 32 см. Определить хорду.

5.) Из одной точки проведены к окружности секущая и касатель­ная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются числами 2, 25 и 1, 75.

6.) Дуга, описанная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника радиусом, равным меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 см и 527 см (начиная от меньшего катета). Опреде­лить катеты.

Вариант №21

1.) А С и С В — катеты; CD — высота; DE || ВС. Определить отношение АЕ: ЕС, если АС: СВ = 4: 5.

2.) Определить катеты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в 12 см и 16 см.

3.) Точка внутри прямого угла удалена от его сторон на рас­стояния а и Ь. Найти её расстояние от вершины.

4.) АВ и CD — две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса R = 15 см. Хорда АВ = 18 см, хорда CD = 24 см. Определить расстояние между хордами.

5.) Пусть будет: АВ — касательная и ACD — секущая той же окружности. Требуется определить AD, если АС: CD = 4: 5 и АВ = 12 см.

6.) Катет AC = 15 см; катет СВ — 8 см. Из центра С радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD, которую и требуется определить.

Вариант №22

1.) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника.

2.) Требуется выфрезозать квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен наименьший диаметр круглого железа, годного для этой цели?

3.) Гипотенуза АВ — 34 см; катет ВС = 16 см. Определить длину перпендикуляра, восставленного к гипотенузе из её середины до пересечения с катетом АС.

4.) В прямоугольном треугольнике биссек­триса прямого угла делит гипотенузу в отноше­нии 7: 9. В каком отношении (считая части в том же порядке) делит её высота?

5.) В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.

6.) Дуга, описанная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника радиусом, равным меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 см и 527 см (начиная от меньшего катета). Опреде­лить катеты.

7.) Определить радиус круга, описанного около равнобедрен­ного треугольника, если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.

Вариант №23

1.) Записать все отношения подобия в прямоугольных треугольниках, образованных высотой прямоугольного треугольника.

2.) Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему равна его диагональ?

3.) В прямоугольной трапеции основания равны 17 дм и 25 дм, а большая боковая сторона равна 10 дм. Из середины этой стороны проведён перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра.

4.) В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40: 41.

5.) В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17: 15. Основание равно 60 см. Найти радиус этого круга.

6.) Катет AC = 15 см; катет СВ — 8 см. Из центра С радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD, которую и требуется определить.

7.) В равнобедренном треугольнике основание равно " 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, опи­санного и вписанного, и расстояние между их центрами.

Вариант №24

1.) Сформулировать теорему Фалеса.

2.) Точка внутри прямого угла удалена от его сторон на рас­стояния а и Ь. Найти её расстояние от вершины.

3.) А С и С В — катеты; CD — высота; DE || ВС. Определить отношение АЕ: ЕС, если АС: СВ = 4: 5.

4.) В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и ме­диана основания 13 м. Определить боковые стороны.

5.) Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличил­ся в 2 раза. Как изменился отрезок MB?

6.) АВ и CD — параллельные прямые. АС — секущая, Е и F — точки пересечения прямых АВ и CD с биссектрисами углов С и Л. Дано: AF = 96 см и СЕ = 410 см. Требуется определить АС.

7.) Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В — хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между каса­тельной и хордой ВС.

Вариант №25

1.) Записать все отношения подобия в треугольниках, образованных пересекающимися хордами.

2.) Между двумя фабричными зданиями устроен покатый жёлоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы жёлоба расположены на вы­соте 8 м и 4 м над землёй. Определить длину жёлоба.

3.) АС и СВ — катеты;. CD — высота; DE J АС и DF J_ СВ. Определить DE и DF, если АС = 75 дм и ВС = 100 дм.

4.) В двух равнобедренных треугольниках боковые стороны имеют одинаковую длину, а сумма углов при вершинах равна 180°. Основания относятся, как 9: 40, а длина боковой стороны равна 41 дм. Определить основания.

5.) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, другая — пополам. Определить длину второй хорды.

6.) Касательная и секущая, проведённые из общей точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Определить радиус окруж­ности.

7.) Точка А удалена от прямой MN на расстояние а. Данным радиусом R описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.

Вариант №26

1.) Свойство проекций катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу.

2.) Параллельно прямой дороге, на расстоянии 500 м от неё, расположена цепь стрелков; расстояние между крайними стрелка­ми равно 120 м, дальность полёта пули равна 2, 8 км. Какой участок дороги находится под обстрелом этой цепи?

3.) Доказать, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу.

4.) Определить радиус круга, описанного около равнобедрен­ного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 24 ж и 13 м.

5.) Радиус круга равен 25 см, а две параллельные хорды равны 14 см и 40 см. Определить расстояние между ними.

6.) Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведён­ная из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

7.) На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: АВ = 6 см и ВС = 8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, ка­сается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точ­ка D первой (считая от А) или второй точкой пересечения.

Вариант №27

1.) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника.

2.) В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Определить высоту трапеции.

3.) В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части в 20 см и 21 см. Определить боль­шую боковую сторону.

4.) В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.

5.) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Определить её рас­стояние от центра.

6.) Из одной точки проведены к окружности секущая и касатель­ная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются числами 2, 25 и 1, 75.

7.) Пусть будет: АВ — касательная и ACD — секущая той же окружности. Требуется определить AD, если АС: CD = 4: 5 и АВ = 12 см.

Вариант №28

1.) Свойство медианы прямоугольного треугольника.

2.) Определить диагонали ромба, если они относятся, как 3: 4, а периметр равен 1 м.

3.) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. На какие отрезки разделилась гипотенуза?

4.) Определить радиус круга, описанного около равнобедрен­ного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 6 дм и 5 дм.

5.) Расстояния от одного конца, диаметра до концов параллель­ной ему хорды равны 13 см и 84 см. Определить радиус круга.

6.) Из одной точки проведены к окружности секущая и касатель­ная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются числами 1 и 2.

7.) Пусть будет: АВ — касательная и ACD — секущая той же окружности. Требуется определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см.

Вариант №29

1.) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника.

2.) В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Определить высоту трапеции.

3.) В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части в 20 см и 21 см. Определить боль­шую боковую сторону.

4.) В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40: 41.

5.) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Определить её рас­стояние от центра.

6.) Из одной точки проведены к окружности секущая и касатель­ная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются числами 2, 25 и 1, 75.

7.) Пусть будет: АВ — касательная и ACD — секущая той же окружности. Требуется определить AD, если АС: CD = 4: 5 и АВ = 12 см.

Вариант №30

1.) Записать все отношения подобия в прямоугольных треугольниках, образованных высотой прямоугольного треугольника.

2.) Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Определить сторону.

3.) Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определить длину перпендикуляра, если наклон­ные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относят­ся, как 3: 10.

4.) В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и ме­диана основания 13 м. Определить боковые стороны.

5.) О — центр; АСВ — хорда; OCD — радиус, перпендикуляр­ный к ней, ОС = 9 см и CD = 32 см. Определить хорду.

6.) Из одной точки проведены к окружности секущая и касатель­ная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются числами 4 и 5.

7.) Пусть будет: АВ — касательная и ACD — секущая той же окружности. Требуется определить АВ, если АВ = CD и АС = а.

Дополнительные задачи

1) В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17: 15. Основание равно 60 см. Найти радиус этого круга.

2.) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 ж и 18 м, а другая — в отношении 3: 8. Определить длину второй хорды.

3.) Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны 12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.

4.) Радиус равен R, хорда данной дуги равна а. Определить хорду удвоенной дуги.

5.) Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобедрен­ную трапецию, есть средняя пропорциональная между параллель­ными сторонами трапеции.

6.) В сегменте хорда равна а, а высота h. Определить радиус круга.

7.) Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 ~ раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

8.) Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.