Задание 2. Тренировочные задачи и упражнения

Тренировочные задачи и упражнения

Задание 1.

1.1. Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, пять бывших зрителей турнира заявили:

Антон был вторым, а Борис пятым.

Виктор был вторым, а Денис третьим.

Григорий был первым, а Борис третьим.

Антон был третьим, а Евгений шестым.

Виктор был третьим, а Евгений четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый мог ошибиться не более чем в одном высказывании. Каково было истинное распределение мест в турнире?

Решение. Будем обозначать высказывания зрителей Х_к , где Х - первая буква имени

участника турнира, а к - номер места, которое он занял в турнире. Так как в высказываниях зрителей одно высказывание может быть ложным, то будут истинными дизъюнкции этих высказываний А₂ Ú Б₅, В₂ Ú Д₃, Г₁Ú Б₃ , А₃ Ú Е₆ , В₃Ú Е₄ .Но тогда истинной будет конъюнкция: К = (А₂ Ú Б₅)(В₂Ú Д₃)(Г₁ Ú Б₃ )(А₃ Ú Е₆)(В₃ Ú Е₄ ) = 1.

Учитывая, что Х_к Х _п = 0 при к ¹ п и Х_kY_k = 0 при X¹ Y получим путем последовательного раскрытия скобок в К:

К = (А₂Д₃ Ú Б₅В₂Ú Б₅Д₃)(Г₁А₃Ú Г₁Е₆ Ú Б₃Е₆)(В₃Ú Е₄) =

(А₂Д₃Г₁Е₆ Ú Б₅В₂Г₁А₃ Ú Б₅В₂Г₁Е₆ Ú Б₅Д₃Г₁Е₆)(В₃Ú Е₄) = А₃Б₅В₂Г₁Е₄ = 1

Полученное соотношение дает распределение первых пяти мест и автоматически получаем, что Денис был шестым т.е. Д₆ = 1.

1.2. По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита. Вот что они показали:

Браун: Я совершил это. Джонс не виноват.

Джонс: Браун не виноват. Преступление совершил Смит.

Смит: Я не виноват. Виновен Браун.

В процессе следствия выяснилось, что у одного из них оба утверждения были ложны, у другого одно ложно, одно истинно, а у третьего оба истинны, а также, что преступник только один. Требуется определить имя преступника, а также кто из них говорил правду, а кто нет.

Решение. Обозначимбуквами B, D, C высказывания: виноват Браун, виноват Джонс,

виноват Смит соответственно.Тогда утверждения высказанные задержанными можно записать в виде конъюнкций , из которых по условию задачи, две ложны, а одна истинна. Поэтому истинной будет формула К= = 1.Однако из этой формулы решение получится только дополнительным рассуждением. А именно: Пусть

B =1, тогда по условию C =0 и D =0. Но тогда из трех конъюнкций, составляющих К две будут верны, а именно , а это противоречит условию. Значит В= 0. Мы видим,

что С=1 удовлетворяетусловиюзадачи и это решение единственно, так как если предположить, что D = 1, то это будет означать, что , а значит что либо В

либо С равно 1, что противоречит тому, что преступник только один. Таким образом, преступник - Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно,

одно нет и Джонс сказал правду.

Задание 2.

2.1. Требуется решить логическое уравнение:

(x® ((y® z)® (y+x))) = 0.

Решение. По свойствам импликации получаем, что должно быть обязательно х = 1, а импликация ((y® z) ® (y+x) = 0. Тогда (y ® z) = 0, a (y+x) = 0. Далее, отсюда

следует что у = х = 1, а z = 0, что является единственным решением нашего уравнения.

2.2 Требуется решить систему логических уравнений