Способ концентрических сфер.

Выясним на примерах условия, при которых можно построить линию пересечения двух поверхностей указанным способом.

Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и f пересекаются в некоторой точке 0 и параллельны плоскости проекций П₂ (рис. 3).

Вначале должны быть построены некоторые опорные точки. Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций II₂, то их контурные образующие, по отношению к плоскости П₂, пересекаются. Точки А, В, С и D пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

Далее следует определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных для отыскания точек Линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен pасстоянию от проекции 0 ₂ центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до т очки А ₂.

Чтобы определить радиус наименьшей сферы R_min необходимо провести через точку 0 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R_min. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй - пересекаться. Если же взять в качестве R_min меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1 - 2; коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3 - 4 и 5 - б. Точки Е, F и G, Н пересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения.

Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min < R< R_max.

На рис. 3 проведена одна дополнительная сфера радиуса R. Она пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 7 - 8 и 9 - 10, а коническую поверхность - по окружностям 11 - 12 и 13 - 14. В пересечении этих окружностей получаем точки К, L, М, N и Р, Q, принадлежащие линии пересечения.

Чтобы построить горизонтальные проекции точек линии пересечения следует воспользоваться окружностями той или другой из данных поверхностей, содержащими искомые точки. В данном примере удобнее использовать окружности конической поверхности, так как они не искажаются на плоскости проекций II₁.

Если оси данных поверхностей вращения пересекаются, но не параллельны какой-либо плоскости проекций, то можно при помощи замены плоскостей проекций привести их в положение, параллельное новой плоскости проекций.

Пример 2. Построить линию пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы С (рис. 4). Так как из любой точки пространства, за исключением центра сферы С, можно описать концентрические сферы, пересекающие данную сферу по окружностям, и из любой точки оси i можно описать концентрические сферы, пересекающие данную поверхность вращения по окружностям, то геометрическим местом точек пространства, из которых возможно описать концентрические сферы, пересекающие по окружностям и данную поверхность вращения и данную сферу, будет ось i.

Таким образом, если из любой точки О (0₂) оси i поверхности вращения описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по окружностям. Так, на рис. 4 вспомогательная сфера радиуса R пересекает поверхность вращения по окружности 1 - 2, а данную сферу - по окружности 3 - 4 (эти окружности изображаются на плоскости проекций П₂ отрезками прямых). Точки М и N пересечения указанных окружностей и будут точками искомой линии пересечения. Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения можно воспользоваться окружностями поверхности вращения, которые не искажаются на плоскости проекций II₁.

Рассмотренные примеры показывают, что способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость симметрии и каждая из которых содержат семейство окружностей, по которым ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

В частности, способ концентрических сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.