Функция распределения вероятностей. Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей

Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.
F(x) = P (X < x).
Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0, 1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функции распределения есть неубывающая функция.
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.1)
4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то
F(x) = 0 при х ≤ а;   F(x) = 1 при х ≥ b.
5. Справедливы следующие предельные отношения:
.
Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х ₁, х ₂, …, х_n, функция распределения имеет вид

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений х_i, величина которых меньше х.
Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство x_i < x ≤ x_{i +1}. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х < x выполняется, если величина Х примет значения х_к, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х < x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х ₁, Х = х ₂, Х = х ₃, …, Х = х_i. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем
. (2.2)
Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения F(x) имеет непрерывную производную
F'(x)= φ (x).
Функцию φ (x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией.
Так как плотность вероятности φ (x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: φ (x)≥ 0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.
Так как F(x) является первообразной для φ (x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем . Отсюда в силу (3.1) получаем
P(a ≤ X ≤ b) = . (2.3)
Полагая а =–∞ и b =+∞, получаем достоверное событие Х принадлежащее (–∞, +∞), вероятность которого равна единице. Следовательно,
.
В частности, если все возможные значения случайной величины при­надлежат интервалу (а, b), то . Полагая в формуле а = –∞, b = х и обозначая для ясности переменную интегрирования t, получим функцию распределения
F(x) = P (– ∞ < X < x) = .
Задача 2.1. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:

и построить ее график.
Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства (3.2) имеем F(x) = p ₁ = 0, 3. Если 2 < х ≤ 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ = 0, 5.
Если х > 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ + p ₃ = 1. Окончательно получаем

График функции F(х) изображен на рис. 3.1.

Рис. 3.1
Задача 2.2. Функция распределения случайной величины Х задана выражением

Найти коэффициент α; вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π /4; 3π /4); построить график функции.
Решение. При х =3 π /4 функция F (x) равна 1, т.е. α ∙ sin (3π /4–π /4)+1/2=1, или α ∙ si n(π /2) + 1/2 = 1. Откуда α = 1/2.
Подставляя а = π /4 и b = 3π /4 в равенство (3.1), получаем
π (π /4 < X < 3π /4) = F(3π /4) - F(π /4) = 1/2 × sin(π /2)+1/2–1/2 × sin 0 – 1/2 = 1/2.
График функции у =1/2∙ sin(х -π /4)+1/2 отличается от графика функции у = sin х тем, что он «сжат» по оси О у в два раза, сдвинут вправо на π /4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) (рис. 3.2).

Рис. 3.1
Задача 2.3. Средняя продолжительность срока реализации товара (в часах) имеет следующую плотность распределения:
φ (х)=
Вычислить:
а) вероятность того, что товар будет реализован позднее 150 часов;
б) вероятность того, что товар будет реализован позднее 200 часов и в то же время не позднее 300 часов.
Решение. а) Обозначим срок реализации товара через Х. Мы знаем, что Р(Х > 150) = 1 – Р(Х < 150) и что Р(Х < 150) = F (150). В то же время
.

Следовательно,   Р(Х > 150) = 1 – .
б) .