Декартовы координати на площині

«Мислю, - отже, існую.»

Рене Декарт, французький учений

Теми:

Ø Найпростіші задачі в координатах

Ø Рівняння кола і прямої

Ø Метод координат

Декартові координати на площині

Функціональною відповідністю, або функцією, називають таку відповідність між двома змінними, коли кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої змінної.
Першу змінну називають незалежною, або аргументом функції, а другу — залежною, або функцією від першої змінної. Усі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють область визначення ­функції.
Записують: y=f(x),
, де x — аргумент, y — функція. Область визначення позначають або .
Приклади
1) ; — множина всіх дійсних чисел, крім 3.
2) ; — множина всіх дійсних чисел, що не перевищують 2, тому що підкореневий вираз має бути невід’ємний.
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Приклади функцій і їх графіків

Лінійна функція

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою , де х — аргумент, а k і b — дані числа.
Графік лінійної функції — пряма. k називається кутовим коефіцієнтом прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис, — графік деякої лінійної функції.
Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок (дуже добре, якщо це будуть точки перетину графіка з осями). Точка перетину графіка з віссю абсцис має ординату 0, а точка перетину графіка з віссю ординат має абсцису 0.

Якщо в лінійній функції , то графік функції перетинає вісь абсцис;
якщо , , то графік функції — пряма, паралельна осі абсцис;
якщо , , графік функції збігається з віссю абсцис.
Графіки двох лінійних функцій перетинаються, якщо їх кутові коефіцієнти різні, і паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти ­однакові.
Можна знайти координати точки перетину прямих, не виконуючи побудови графіків функцій. Так, якщо прямі задані рівняннями і , то досить розв’язати систему рівнянь:

Лінійну функцію, що задається формулою , де , називають прямою пропор­ційністю.
Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат. Якщо , графік лежить у I і III координатних чвертях, а якщо — то у II і IV координатних чвертях.
Приклади
1) , , .
2) , , .
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і

Обернена пропорційність

Функцію, задану формулою y=k/x, де х — незалежна змінна, k≠ 0 — дане число, називають оберненою пропорційністю.
Область визначення функції y=k/x — множина всіх чисел, крім 0.
Графік функції y=k/x, (k≠ 0) — гіпербола, симетрична відносно початку координат. Коли k> 0, гілки такої гіперболи розміщені в I і III координатних кутах, коли k< 0 — у II і IV.
Як приклад побудуємо графік функції y=12/x. Заповнимо таблицю (значення x зада­ємо, y — обчислюємо за формулою y=12/x:

Нанесемо отримані точки на координатну площину. Сполучивши ці точки плавною лінією, отримаємо графік

Зверніть увагу на поводження графіка поблизу осей координат. Графік до них нескінченно наближається, але не перетинає. Дійсно, x=0 не входить до області визначення, отже точки перетину з віссю Oy немає. k/x≠ 0 ні при якому значенні х, значить, якщо x≠ 0, точки перетину з віссю Ox немає.

Функція y=x²

Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою y = x ²).

Нанесемо знайдені точки на координатну площину. Сполучивши ці точки, отримаємо графік функції y=x² (див. рисунок нижче).
Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.

y(0)=0. Графік проходить через початок координат O(0; 0).

y(x)≥ 0 при всіх значеннях х. Усі точки графіка розташовані не нижче осі Оx.
Протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції, тобто графік симетричний відносно осі ординат.

Функція y=√ x

Область визначення — множина всіх невід’ємних дійсних чисел.
Графік — одна гілка параболи, яка роз­ташована в I координатному куті (див. рисунок).

Розв’язування рівнянь графічним способом

За допомогою графіків функцій можна розв’язувати рівняння графічним способом. Для цього треба побудувати в одній системі координат графіки обох частин рівняння й знайти абсциси точок їх перетину.
Приклад. Розв’яжіть рівняння x²=√ x
Побудуємо графіки функції y=x² та y=√ x в одній координатної системі (див. рисунок) і знайдемо абсциси точок їх перетину.

Відповідь: x₁=0, x₂=1.

Задача

Дано точки A (-2; 1) B (2, 5) C (4; 1). Складіть рівняння середньої лінії трикутника ABC, яка паралельна стороні BC.