Решение. 1. Построение эпюры внутренних усилий (продольной силы)

1. Построение эпюры внутренних усилий (продольной силы)

Эпюрой внутреннего усилия называют график функции, описывающей внутреннее усилие. Под действием внешних нагрузок (сосредоточенные и равномерно распределенные нагрузки), приложенных таким образом, что стержень подвергается центральному растяжению (сжатию), в нем возникает внутренние усилия – продольные силы. Для построения эпюры необходимо на всех грузовых участках составить уравнения внутренних усилий. Используем метод сечений. Суть метода заключается в следующем. Рассматриваемый элемент мысленно рассекают на две части (проводят сечение), одну часть отбрасывают (целесообразно отбрасывать ту часть, на которую действует больше нагрузок), а действие отброшенной части заменяют положительно направленными внутренними усилиями (в данном случае N). Любой элемент должен находиться в равновесии, поэтому составляют уравнения статики (уравнения равновесия) из которых находят значения внутренних усилий. Правило знаков для продольного внутреннего усилия следующее: внутреннее усилие (N) будет положительным при растяжении элемента и отрицательным в случае сжатия.

Продольное внутреннее усилие (N) в любом сечении равно алгебраической сумме проекций всех внешних сил (включая опорные реакции), взятых по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня.

Расчет начнем с верхней части, нижнюю часть мысленно отбросим. Рассмотрим первый и второй грузовые участки.

Рассмотрим первый грузовой участок: N_I=-F₁=-120кН – const, т.е. N_1-1= N_2-2=-120кН

Рассмотрим второй грузовой участок: N_II=-F₁+ F₂=-120+150=30кН – const,

т.е. N_3-3=N_4-4=30кН

Рассмотрим третий грузовой участок: N_III=-F₁+ F₂-qx₃=30- qx₃ – линейное уравнение, т.е. N_5-5=30кН, N_6-6=30-40× 4=-130кН. В пределах третьего грузового участка внутреннее усилие меняет знак, найдем расстояние от заделки до сечения, в котором N=0: x₃=130/40=3, 25м (при этом значении x функция перемещений u имеет экстремум).

Все необходимые для построения эпюр внутренних усилий вычисления выполнены. При построении эпюры N необходимо соблюдать некоторые правила. Если на расчетной схеме приложена сосредоточенная сила (опорная реакция), то на эпюре соответственно в этом сечении будет скачек равный величине этой силы. Грузовому участку, в пределах которого действует равномерно распределенная нагрузка, на эпюре N соответствует участок с наклонной прямой (прямолинейная зависимость).

2. Построение эпюры напряжений

Зная, что при центральном сжатии (растяжении) σ = σ (x) = N(x) / A и учитывая заданное соотношение между площадями на грузовых участках (I, II - 2А, III - А), построим эпюру напряжений через отношения N(x) / A. Это эпюра строится с целью нахождения опасных сечений. Выполним необходимые вычисления.

Эп. N[кН] Эп. σ

σ _1-1=σ _2-2=N_1-1/2А=-120/2А=-60/А;

σ _3-3=σ _4-4= N_3-3/2А =30/2А=15/А;

σ _5-5= N_5-5/А =30/А;

σ _6-6= N_6-6/А =-130/А;

С помощью эпюры напряжений (σ = N/A) найдем опасные сечения. В настоящей задаче будет два опасных сечения (σ _max и σ _min), т.к. во-первых, материал хрупкий (R_t≠ R_c), а во-вторых, эпюра напряжений имеет два знака, следовательно, материал необходимо рассчитать для работы и на сжатие и на растяжение. Если материал пластичный (R_t = R_c), то будет одно опасное сечение (|σ |_max). Также одно опасное сечение для хрупкого материала будет в том случае, когда эпюра напряжений имеет один знак («+» σ _max или «-» σ _min).

Опасное сечение в растянутой зоне σ _max =σ _5-5=30/А;

Опасное сечение в сжатой зоне σ _min =σ _6-6=-130/А.

3. Определение площади поперечного сечения

С целью нахождения площади поперечного сечения запишем условия прочности.

Условие прочности на растяжение

Условие прочности на сжатие

Сравним две найденные площади и примем к последующему расчету наибольшую, найденную из условия прочности на растяжение А=0, 0333м².

Зная площадь поперечного сечения можно получить числовые значения напряжений и выставить их на эпюру.

4. Построение эпюры перемещений

Перемещения представляют собой сумму интегралов от функции внутреннего усилия, отнесенного к жесткости стержня. Интегрирование ведется в пределах грузового участка.

При построении эпюры перемещений u необходимо строго следить за выполнением дифференциальных зависимостей:

Геометрическим смыслом первой производной функции является тангенс угла наклона касательной к графику функции. В случае, когда первая производная обращается в ноль, функция имеет экстремум.

Геометрическим смыслом интеграла является площадь, ограниченная графиком функции.

Для получения перемещений можно интегрировать функцию продольных сил, функцию напряжений или функцию деформаций. В данном случае рациональнее всего работать с функцией деформаций. Помня о геометрическом смысле интеграла можно найти значения перемещений, суммируя площади эпюры деформаций. Определение перемещений всегда начинают с того сечения, в котором известно перемещение, в нашем случае – это заделка (u_6-6=0). В пределах грузовых участков, где деформация (напряжение, продольное усилие) постоянна, перемещение определяют как .

, затем определим перемещения при x=3, 25м ;

;

.

Найдя значения перемещений во всех сечениях (параболу строят по трем точкам) приступают к построению эпюры перемещений.

Эп. N[кН] Эп. σ [МПа] Эп. u[10^-4м]

5. Проверка жёсткости

Необходимо проверить выполнение условий жёсткости: . Здесь ∆ l – абсолютная деформация, т.е. перемещение свободного конца стержня, а │ u│ _max – максимальное по модулю перемещение сечения стержня, выбирается с помощью эпюры перемещений.

[Δ l ] = 0, 02 ∙ l = 0, 02 ∙ 8 = 0, 16 м, тогда условие жёсткости имеет вид:

[u] = 0, 001 ∙ l = 0, 001∙ 8 = 0, 008 м, тогда условие жёсткости имеет вид:

Оба условия жёсткости выполняются.