Линейные операции над векторами.

Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.

Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор .

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор = - , что выполняется равенство + = .

Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору

что + = . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать – .

Определение. Произведением вектора на число λ (λ 0) называется вектор =λ , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и одинаково направлены, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0;

2) | |=|λ || |.

По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0 = .

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1) сложение векторов коммутативно:

+ = + , " , ;

2) сложение векторов ассоциативно:

( + )+ = +( + ), " , , ;

3) + = , " ;

4) +(- )=0, " ;

5) умножение вектора на число ассоциативно:

α (β ) = (α β) , " " α, β Î R;

6) 1 = , " ;

7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к

сложению чисел:

(α +β) =α +β , " , " α, β Î R;

8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:

α ( + )=α +α , " , , " α Î R;

Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ().

Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало λ, удовлетворяющее условию:

= λ .