в. Определение усилий по линиям влияния

Рис.1. Схема многопролетной балки и нагрузки

А. Построение эпюр Q и M

Для определения внутренних усилий строим «поэтажную» схему взаимодействия отдельных балок. Построение поэтажной схемы начинаем с определения «основной» балки. Для этого необходимо разделить все сооружение на части (убрать шарниры). Та балка, которая при этом останется геометрически неизменяемой и будет основной. В нашем случае это балка GH. Остальные балки являются вспомогательными.

Рис.2 «Поэтажная» схема балки

Аналитический расчет начнем с верхней балки ВС:

Определим опорные реакции:

Эпюры Qи Mдля балки ВС построены на рис. 3

Затем рассчитаем балку FG

Определим опорные реакции:

В сечении х₁=5/1=5, 0м – вершина параболы на эпюре М_Z

Рис.4

Далее рассчитаем балку CDEF

Из поэтажной схемы видно, что на балку CDEF кроме равномерно распределенной нагрузки q, действует усилия R_С и R_F от балок ВС и FG.

Определим опорные реакции:

В сечении х₂=3, 75/1=3, 75м – вершина параболы на эпюре М_Z

Теперь рассчитаем балку АВ

Из поэтажной схемы видно, что на балку AB кроме равномерно распределенной нагрузки q, действует усилие R_В от балки ВС.

Определим опорную реакцию R_A:

Далее рассчитаем балку GH

Из поэтажной схемы видно, что на балку GH кроме силы равномерно распределенной нагрузки q=1кН/м, действует усилие R_G от балки FG.

В данном случае опорные реакции, также как и в случае с балкой АВ определять нет необходимости, т.к. двигаясь от сечения G можно определить значения и поперечной силы и изгибающего момента:

Построенные эпюры для отдельных балок покажем на общем чертеже (рис.8)

Рис.8

б. Построение линий влияния (расчет на подвижную нагрузку)

Линии влияния необходимы для расчета сооружения на подвижную нагрузку. При построении линии влияния считается, что по сооружению перемещается единичная сосредоточенная сила. График, отображающий изменение усилия в зависимости от положения единичной силы, называется линией влияния.

Линия влияния опорной реакции R_А

Рассмотрим балку АВ по которой движется единичная сила F=1. Составим уравнение равновесия:

Т.е. в пределах балки АВ линия влияния R_A равна 1 и параллельна осевой линии. При движении единичной силы по балке ВС на балку АВ действует усилие R_В, когда сила находится над точкой С усилие R_В =0 балка АВ не загружена и R_A=0. Когда сила движется по балке CDEF балка АВ не загружены и R_A=0. По указанным ординатам строится линия влияния R_А (см. рис. 9).

Рис.9

Линия влияния опорной реакции R_D

Рассмотрим балку CDEF по которой движется единичная сила F=1. Составим уравнение равновесия:

При движении единичной силы по балке BC на балку CDEF действует усилие R_C, когда сила находится над точкой B усилие R_C =0 балка CDEF не загружена и R_D=0. Когда сила движется по балке FG в точке Е на балку CDEF, действует усилие R_F, но когда сила находится в точке G усилие R_F=0 и балка CDEF не загружены и R_D=0. По указанным ординатам строится линия влияния R_D (см. рис. 10).

Рис.10

Линия влияния опорной реакции R_E

Рассмотрим балку CDEF по которой движется единичная сила F=1. Составим уравнение равновесия:

При движении единичной силы по балке BC на балку CDEF действует усилие R_C, когда сила находится над точкой B усилие R_C =0 балка CDEF не загружена и R_E=0. Когда сила движется по балке FG в точке Е на балку CDEF, действует усилие R_F, но когда сила находится в точке G усилие R_F=0 и балка CDEF не загружены и R_E=0. По указанным ординатам строится линия влияния R_E (см. рис. 11).

Рис.11

Линия влияния изгибающего момента М₂

Рассмотрим балку CDEF с заданным сечением 2-2 (при решении данной задачи используем значения опорных реакций, определенных выше). Рассмотрим случая:

1. Единичная сила движется левее сечения 2-2, тогда из условия равновесия правой отсеченной части:

По этим данным строится левая часть линии влияния М₂

2. Единичная сила движется правее сечения 2-2, тогда из условия равновесия левой отсеченной части:

По этим данным строится правая часть линии влияния М₂

При движении единичной силы по балке BC на балку CDEF действует усилие R_C, когда сила находится над точкой B усилие R_C=0 балка CDEF не загружена и M₂=0. Когда сила движется по балке FG в точке Е на балку CDEF, действует усилие R_F, но когда сила находится в точке G усилие R_F=0 и балка CDEF не загружены и M₂=0. По указанным ординатам строится линия влияния M₂ (см. рис. 12).

Рис.12

Линия влияния поперечной силы Q₂

Рис.13

Линия влияния изгибающего момента М₄

Рассмотрим балку AB с заданным сечением 4-4.

Определим опорные реакции R_A и M_A

Рассмотрим случая:

1. Единичная сила движется левее сечения 4-4, тогда из условия равновесия правой отсеченной части:

По этим данным строится левая часть линии влияния М₄

2. Единичная сила движется правее сечения 4-4, тогда из условия равновесия левой отсеченной части:

По этим данным строится правая часть линии влияния М₄

При движении единичной силы по балке BC в точке B на балку AB действует усилие R_B, но когда единичная сила находится над сечением C усилие R_B=0, балка AB не загружена и М₄=0. По указанным ординатам строится линия влияния М₄ (см. рис.14).

Рис.14

Линия влияния поперечной силы Q₄

Рис.15

в. Определение усилий по линиям влияния

Усилия R_A, R_Е, R_D, М₂, Q₂, М₄ и Q₄ определяются в соответствии с рис.16 по формуле

1. R_A = q*1, 0*5 + P*0, 50 = 7, 5кН (аналитически получилось 7, 5кН)

2. R_D = Р*0, 75 + q*1*10 / 2 + q*(-0, 5)*10 / 2 = 6, 25кН (аналитически получилось 6, 25кН)

3. R_Е = Р*(-0, 25) + q*1*10 / 2 +q*1, 5*10 / 2 = 11, 25кН (аналитически получилось 11, 25кН)

4. M₂ = Р*(-1, 25) + q*2, 5*10 / 2 + q*(-2, 5)*10 / 2 = -6, 25кН*м (аналитически получилось -6, 25кН*м)

5. Q₂ = Р*0, 25 + q*0, 5*5 / 2 + q*(-0, 5)*5 / 2 + q*(-0, 5)*10 / 2 = -1, 25кН (аналитически получилось -1, 25кН)

6. M₄ = q*(-5)*5 / 2 +Р*(-2, 5) = -25кН*м (аналитически получилось -25кН*м)

7. Q₄ = q*1*5 + Р*0, 5 = 7, 5кН (аналитически получилось 7, 5кН)

Полученные результаты совпадают с результатами аналитического расчета