Решение. На стороне AB отложим отрезок AK=CF=BE

На стороне AB отложим отрезок AK=CF=BE. Из равенства ∆ AKD= ∆ CFD (по двум сторонам и углу между ними) следует, что DK=DF=ED. Углы при основании KE равнобедренного ∆ DKE равны, поэтому равны и смежные им углы AKD и BED. Тогда ∆ AKD =∆ BED( по двум сторонам и углу между ними). Значит, BD=AD=AB, т.е. ∆ ABD – равносторонний. Следовательно, BAD = 60 ^o.

Ответ: 60 ^o.

[ Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина: Вспомогательные равные треугольники. Правильный (равносторонний) треугольник. Ромбы. Признаки и свойства. ]

№8 Докажите, что если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам, то противоположные стороны четырёхугольника – равны.

Дано: АВСD – четырёхугольник,

DO=OB, OA=OC.

Доказать: АВ=DC, АD=ВС.

Доказательство:

Для четырехугольника ABCD мы знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда треугольники AOD и BOC также равны (по признаку " сторона-угол-сторона",

AO = OC; BO = OD и углы DOA = BOC – вершина), поэтому AD = BC. Аналогично треугольники AOB и DOC равны, откуда AB = CD.

ч.т.д.

[https://www.matematike.net/geometria/zadachi-na-priznak-ravnosri-treugolnikov-storona-storona-storona.html]

№9 В остроугольном треугольнике ABC высоты AA ₁и CC ₁пересекаются в точке H. Известно, что H – середина AA ₁, а CH: HC ₁ = 2: 1. Найдите величину угла АBС.

Дано:

АВС

AA₁ и CC₁–высоты

AA₁∩ CC₁ = Н

H – середина AA₁

CH: HC₁=2: 1

Найти: АBС.