Бинароное отношение на множестве.

Пусть на множестве X = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». для любых двух чисел из множе­ства X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8) - эле­менты декартова произведения ХхХ, отношении «меньше», является под­множеством множества ХхХ — бинарн.отн. Бинарным отношени­ем на множестве X называют всякое подмно­жество декартова произведения ХхХ. бинарн. отн. (х, у) € R или xRy. «Элемент х находится в отношении R с эле­ментом у». Способы задания б.отн: 1. перечислить все пары элементов, наход. в онт. 2 при помощи предло­жен с 2 перемен., («число х крат­но числу у») которые предст. Онт. Между эл-ми множества. 3 формулой, выраж. зависимость м.д эл-ми дан.множества. 4 таблицей 5 гра­фически (граф,) Отношение обратное данному исп.в на­чальном курсе ма­тематики. Свойства:. 1. Отношение R на множе­стве X на­зывают рефлек­сивным, если о каждом элементе множе­ства X можно сказать, что он находит­ся в отношении R с самим собой. (каждый треугольник подобен самому себе). Отношение R на множестве X называют анти­рефлексивным, если о каждом элемен­те множества X можно ска­зать, что он не находится в отноше­нии R с самим собой. «быть перпендикулярным на мн-ве прямых»

2. Отношение R на множестве А" называют симмет­ричным, если выпол­няется условие: из того, что эле­мент х нахо­дится в отношении R с элементом у, следу­ет, что и элемент у находится в от­ношении R с эле­ментом х. ( отнош. параллельн и пер «если пря­мая х па­раллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х» ) - вершины либо не связаны, либо с двух сторон.. От­ношение R на множестве X называют антисиммет­ричным, если для различных элементов х и у из множе­ства X выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится. одной стрел­кой, есть граф антисим­метричного отношения.(если х больше у, то у не может быть больше х) Отношение R на множе­стве X называют транзи­тивным, если выполняет­ся условие: из того, что эле­мент х нахо­дится в отноше­нии R с эле­ментом у и элемент у находится в отно­шении R с элементом z, следует, что x состоит в бинарн. отн. с z. (отношение меньше на мн-ве действ.чис.) Антитрази­тивные отношения — это отношения, когда из того, что эле­мент х нахо­дится в отношении R с эле­ментом у и элемент у находится в отно­шении R с элементом z, сле­дует, что x состоит в бинарн. отн. с z. (перпедикуляр­ность прямых-параллельность). Отношение связности — из x и y прин.X и не равных — x в бин отн.y или y состоит в ьин отн. с x.

Отношение R на множестве X называют отношением эквивалентно­сти, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметрич­ности и тран­зитивности. Теорема: если како­е-либо отношение, задан­ное на множе­стве X, порождает разбиение этого множе­ства на классы, то оно является отношением эквивалент­ности. Определен. Эквивал.: проверяем ре­флексивность, транзит., симмет­ричность.