Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Решение типовых примеров

1.20 Составьте подмножества множества А элементами которых являются натуральные, целые, нечётные, чётные, отрицательные, положительные числа .

Решение. Множество В называется подмножеством множе­ства А, если любой элемент множества В является элементом мно­жества А. Так как множество натуральных чисел = , то подмноже­ством натуральных чисел для A будет . Множество целых чисел = . Поэтому подмножеством целых чисел для А будет . Нечётными называются числа вида , где . Поэтому подмножеством нечётных чисел для А будет , поскольку . Чётными называются числа вида , где . Поэтому подмножеством чётных чисел для А будет , поскольку . Отрицательными назы­ваются числа, расположенные слева от нуля на числовой прямой. Та­ких во множестве А нет. Поэтому и подмножеств, состоящих из этих чисел для А нет. Положительными называются числа, расположенные справа на числовой прямой. Все элементы множества А являются положительными числами. Поэтому в качестве подмножества положительных чисел для А можно взять само множество А.

2.20 Найти пересечение, объединение, разность множеств

А= и В= .

Решение. Пересечением множеств А и В на­зывается множество и . Поскольку , а все остальные элементы множества В меньше любого элемента множества А, то других общих элементов для А и В нет и следовательно в данном случае . Объединением множеств А и В называется множество или . Таким образом в объединение множеств А и В вхо­дят все элементы как множества А, так и множества В. В нашем случае . Разностью множеств А и В называется множество и . В нашем случае только элемент из множества А принадлежит В. Поэтому

3.20 Выяснить, в каком из соотношений находятся множества и ?

Решение.Докажем, что = . Два множества равны, если и .

Покажем, что .

Пусть , то­гда или .

Если , то и . Из того, что следует, что , а из того, что следует, что . Зна­чит . Аналогично получаем, что , если .

Докажем теперь, что .

Пусть , тогда и . Из того, что следует, что или , а из того, что следует, что или . То­гда, если и , то , а, если и , то . Дру­гих ситуаций быть не может. Итак, или . Значит .

Равенство = доказано.

4.20Найти декартово произведение множеств и . Изобразить на плоско­сти .

Решение. Декартовым произведением множеств А и В называ­ется множество . В нашем случае , .Изобразим множество на плоскости

Рисунок 1 – Множество ,

5.20Записать с помощью кванторов высказывание А={Для любых непустых числовых множеств X и Y таких, что лю­бой элемент x из множества X меньше либо равен любого элемента y из множества Y, существует число M такое, что для любых элемен­тов x из X и y из Y} и его отрицание



Решение. Запишем с помощью кванторов высказывание А и его отрицание :

Заметим, что высказывание А представляет собой теорему об отделимо­сти числовых множеств и выполняется всегда. Поэтому высказывание ложно.

6.20Найти следующие композиции:

или дока­зать, что такая композиция невозможна на естественных областях оп­ределения функций f и .

Решение. Сложная функция (или композиция функций f и g) будет определена тогда, когда множество значений E(g) функции g содержится в области определения D(f) функции f. В нашем случае E(g)= , D(f)= , D(g)= , E(f)= . Так как E(g) D(f), то определена функция .

Поскольку E(f) не содержится в D(g), то композиция g(f) на естествен­ных областях не возможна.

E(f) D(f) и значит определена сложная функция .

E(g) не содержится в D(g). Поэтому композиция g(g) на естественных областях не возможна.

На естественной области определения f не определена функция (в точке x=0) и поэтому не определена функция .

Областью определения функции является множество . Так как множество значений функции f не содержится в нём, то композиция не возможна на естественной области определения f .



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал