Управляемость и наблюдаемость

Система называется полностью управляемой, если из любого начального состояния x(t0) она может быть переведена в любое наперед заданное состояние с помощью вектора управления u(t) за некоторое конечное время t - t0³ 0.
Для постоянных матриц A и B система может быть полностью управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы Lc [n´ m] будет равен n(n – максимально возможное значение ранга такой матрицы).

О теореме Гамильтона- Кэли.
Всякая квадратная матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Метод, основанный на этой теореме. Пусть Р(А)- многочлен от квадратной матрицы А (n´ n), степень которого (многочлена) > n.
DА - характеристический многочлен матрицы А.

Наблюдаемость
Система называется вполне наблюдаемой, если произвольное состояние x(t0) можно определить по информации u(t) и y(t) на конечном интервале t0 ³ t ³ t1
Для полной наблюдаемости линейных систем с постоянными матрицами необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости L0 [n´ nl] был бы равен n.

Некоторые критические советы.
Для практической реализации модели в пространстве состояний и их анализа необходимо сделать следующее:
1. Анализ технологического процесса объекта управления с определением переменных управления, управляющих воздействий, возмущений и выходных переменных.
2. Составление балансовых уравнений (материального и энергетического баланса).
3. Запись уравнений в отклонениях.
4. Линеаризация (например, в ряд Тейлора).
5. Переобозначение в привычных символах для модели в пространстве состояний.
6. Нахождение решения.
7. Анализ управляемости и наблюдаемости.

35.Представление в пространстве состояний и модель «вход-выход»

Представление в пространстве состояний.
dx/dt = Ax + Bu + Гd; x(0) – начальные условия
y = Cx
x - n-мерный вектор состояний; u - m-мерный вектор управления; d - k-мерный вектор возмущений; y - l -мерный вектор выхода;
А=[n´ n] Г=[n´ k]
В=[n´ m] С=[l´ n]

Модель «выход-вход»

- частотная область

L - преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа - представление в частотной области. Обозначим: f(t) – оригинал; F(s) - изображение.

- одностороннее преобразование Лапласа.
Условия, необходимые для использования преобразования Лапласа:
1. f(t) непрерывна на интервале t ³ 0, непрерывность может быть нарушена только лишь конечным числом разрывов 1-го рода.
2. f(t) = 0 при t < 0
3. f(t) не должна иметь неограниченного роста

По одной и той же передаточной функции можно построить целое семейство уравнений в пространстве состояний. Это происходит потому, что передаточная функция - это рациональная дробь, а числитель и знаменатель ее представлены в виде полиномов, часто имеющих общие корни. При сокращении нарушается эквивалентность представления.
Условиям однозначного перехода от частотной области к временной является выполнение условий управляемости и наблюдаемости.