Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
I. МЕХАНИКА. I.1. Пусть расстояние между столбами равно S , скорость велосипе-диста в момент проезда первого столба равна v0
I.1. Пусть расстояние между столбами равно S, скорость велосипе-диста в момент проезда первого столба равна v 0, а его ускорение равно a. Кинематические уравнения движения велосипедиста на заданных в условии отрезках пути имеют вид:
приведем к виду:
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения:
Чтобы получить ответ, осталось найти t 0и t. Для этого воспользуемся первым и вторым кинематическими уравнениями движения велосипе-диста, которые в наших обозначениях принимают вид:
t 0= t 2− 1+212=1 с, 1 2
1 2
Следовательно, t 3= − 3, 5+ 3, 52+6» 0, 77 с.
Физический факультет
I.2. Пусть v 0– скорость автопоезда при равномерном движении, F – сила тяги двигателя тягача, постоянная до момента выключения дви-гателя, µ – коэффициент сопротивления, имеющий размерность уско-
рения. Согласно второму закону Ньютона, при равномерном движении автопоезда выполняется равенство:
F = M.
После того, как от автопоезда отцепится прицеп, уравнения движения тягача и прицепа примут вид:
К моменту выключения двигателя тягач наберет скорость
замедленно с ускорением, модуль которого | a 2 |. Поэтому при движе-нии накатом тягач пройдет путь
I.3. Вычислим силу натяжения стержня в том его сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями наклонной
Решения задач
поверхности клина. Пусть полная масса стержня равна m. Рассмотрим момент, когда на гладкой части клина окажется нижняя часть стержня массой b m, а на шероховатой части клина – верхняя часть стержня
массой (1−) m, причем значения коэффициента лежат в диапазоне 0 £ b £ 1. Уравнения движения нижней и верхней частей стержня имеют вид:
b ma =b mg sina − T,
(1− b) ma = (1−) mg sina + T − (1−) mg cosa,
где a – ускорение стержня, g – ускорение свободного падения, T –
сила взаимодействия нижней и верхней частей стержня (сила натяжения стержня) в рассматриваемый момент. Решая эту систему, находим
T =b(1− b)µ mg cosa.
Видно, что сила натяжения стержня в сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями клина, зависит от зна-чения коэффициента b. Очевидно, она будет максимальной при
= 0, 5, т.е. когда одна половина стержня окажется на гладкой нижней
*I.4. Когда кубик и груз освободят, они придут в движение под дей-ствием сил, модули и направления которых указаны на рис. 91. Здесь mg и µ N – модули
силы тяжести и силы трения скольжения, дей-ствующих на груз, N – модуль нормальной составляющей силы взаимодействия кубика и груза, F – модуль силы натяжения нити, рав-ный модулю заданной в условии силы, прило-
Рис. 91
Физический факультет
женной к свободному концу нити. Полагая, что система отсчета, свя-занная со столом, является инерциальной, запишем уравнения движения кубика и груза в проекциях на координатные оси Ox и Oy:
Max = F − N, max = N, may = F − mg − N,
где ax – модуль ускорения кубика, равный модулю горизонтальной составляющей ускорения груза, ay – модуль вертикальной составляю-щей ускорения груза. Из этих уравнений находим
ax = MFm, M +(1−) m y (M + m) m
ние свободного конца нити относительно неподвижной системы отсчета при этом равно ∆ x +∆ y. Работа, которую совершает сила,
Объединяя записанные выражения, получаем ответ:
∆ x = (2− µ+(M A
m)) F − (m + M) g
I.5. Рассмотрим движение груза после того, как нить, на которой он подвешен, зацепится за нижний гвоздь. В верхней точке окружности, по которой движется груз, на него действуют сила тяжести и сила натяже-
Решения задач
ния нити (см. рис. 92). Обозначив через mg и T модули этих сил, по второму закону Ньютона имеем:
где v – скорость груза в верхней точке, R – радиус окружности. Отсю-да следует, что груз совершает на нити полный оборот по окружности, если v 2³ gR. Обозначив
через v 0скорость груза в нижней точке, по закону сохранения механической энергии имеем:
сти груза в верхней точке находим, что R £ 5 g. Таким образом, макси-
мальное значение радиуса, при котором груз совершит полный оборот по окружности, равно
нимется груз
найденной точки (при этом x > x 0), то радиус окружности, по которой
Физический факультет
движется груз, будет меньше R max, и груз достигнет в верхней точке окружности высоты, меньшей чем h max. Если же вбить гвоздь выше найденной точки (при этом x < x 0), то натяжение нити обратится в нуль, т.е. нить провиснет, когда груз еще не достигнет верхней точки. В этом случае траектория груза кроме дуги окружности будет включать в себя отрезок параболы. Таким образом, ответ имеет вид: x = 0, 6 L.
действием сил, модули и направления которых изо-бражены на рис. 93, где ∆ mg – модуль силы тяжести,
∆ N – модуль силы реакции поверхности конуса, F – модуль силы натяжения кольца. Векторная сумма сил натяжения, действующих на выделенный элемент со стороны соседних участков кольца, направлена к цен-
Условия равновесия элемента кольца имеют вид:
∆ mg = ∆ N sina, F ∆ f = ∆ N cosa.
I.7. Цилиндр и доски находятся в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рис. 94, где Mg и mg –
модули сил тяжести, действующих на цилиндр и на каждую из досок, N – модуль нормальной составляющей силы взаимодействия каждой из досок и цилиндра, F тр – модуль силы трения покоя между цилин-
дром и каждой из досок. Силы реакции оси, на которой подвешены дос-
Решения задач
ки, на рисунке не показаны. Для облегчения анализа рисунка в левой его части изображены силы, действующие только на цилиндр, а в правой – только на правую доску. Уравнение моментов сил, действующих на одну из досок, записанное относительно точки O, имеет вид:
Цилиндр находится в равновесии при выполнении условия: Рис. 94
Из записанных уравнений находим, что
N = mg sina, Mg + 2 mg sin2 a тр 2cosa
Учитывая, что sina = R, cosa = R 2 +(L /2)2
L /2, получаем R 2 +(L /2)2
I.8. Согласно формуле Гюйгенса, период колебаний математическо-го маятника длиной l равен
где g – ускорение свободного падения в той области вблизи поверхно-
сти планеты, где расположен маятник. В частности, на полюсе ускоре-ние свободного падения g п целиком определяется силой гравитацион-ного притяжения тела к планете. По закону всемирного тяготения
Физический факультет
где G» 6, 67× 10− 11 м3/(кг·с2) – гравитационная постоянная, M – масса
планеты, R – ее радиус. Тело, находящееся на экваторе, движется отно-сительно инерциальной системы, связанной с центром планеты, по ок-ружности радиусом R. По второму закону Ньютона для тела массой m, покоящегося на экваторе, имеем:
m w2 R = mg п − N,
сила упругости, возникающая при растяжении пружины, равна по мо-
Решения задач
дулю F = k ∆ x. На каждый груз действуют две такие силы, направлен-ные под углом 60° друг к другу. Их векторная сумма направлена к центру треугольника и по модулю равна 2 F cos30°. Объединяя записан-ные выражения, находим, что возвращающие силы, возникающие при смещении грузов на расстояние x, равны по модулю 3 kx. Поэтому уравнение движения каждого из грузов имеет вид: Рис. 95
I.10. Поскольку грузы смещают от положений равновесия на одина-ковые расстояния, центр масс системы, совпа-
кону Гука сила упругости, возникающая при растяжении пружины, равна по модулю F = k ∆ x. На каждый груз действуют две такие силы, направленные под углом 2 друг к другу,
Рис. 96
Физический факультет
|