I. МЕХАНИКА. I.1. При упругом ударе о наклонную плоскость составляющая ско-рости шарика, параллельная плоскости

I.1. При упругом ударе о наклонную плоскость составляющая ско-рости шарика, параллельная плоскости, не изменяется, а составляющая, перпендикулярная плоскости, оставаясь

той же по величине, меняет направление на противопо-ложное. Следовательно, после удара шарик отскочит от наклонной плоскости со скоростью v 0 под углом = p − 2a к горизонту. Кинематические уравнения дви-

жения шарика в системе координат, изображенной на рис. 78, имеют вид:

В точке падения шарика на плоскость выполняются соотношения: x = l, y = l tga.

Исключая из записанных выражений время, получаем ответ:

v 0=

gl

2cos2(p − 2a)[tga + tg(p − 2a)]

gl cosa 2sina |cos2a |

I.2. Траектория мяча, соответствующая максимальной скорости, удовлетворяющей условию задачи, изображена на рис. 79. При упругом ударе о стенку вертикальная составляющая скорости мяча не изменяет-ся, а горизонтальная, оставаясь той же по величине, меняет направление

Факультет ВМиК

на противоположное. Зависимость высоты мяча над поверхностью зем-ли имеет вид:

Время полета мяча до ограждения

0 v 0cosa

Рис. 79 Мяч не перелетит через ограждение, если y (t 0) £ h. Исключая из записанных выражений время, получаем ответ:

L + l 0 cosa

Рис. 80

эффициент сопротивления воды. По второму закону Ньютона имеем: F =b v 0. Из рисунка видно, что F = F cosJ, где J – угол, который

cosJ = l 0− v 0 t.

(l 0− v 0 t)2+ h 2

Объединяя записанные равенства, получаем:

F = b v 0

(l 0− v 0 t)2+ h 2 l 0− v 0 t

		.

Решения задач

F =b v 0 l 2+ h 2, откуда b v 0= F 0

l 0.

l 2+ h 2

Ответ: F (t) = F l 0

l 2+ h 2

(l 0− v 0 t)2+ h 2 l 0− v 0 t

I.4. Брусок движется по горизонтальной окружности под действием сил, изображенных на рис. 81, где m g – сила тяжести,

N – нормальная составляющая силы реакции сферы, F – сила трения. В проекциях на оси OX и OY непод-

вижной координатной системы имеем:

m w 2 R cosa = N cosa − F sina,

F cosa + N sina − mg = 0. Рис. 81 Исключая отсюда N, находим

F = m cosa(g − w 2 R sina).

Если угловая скорость вращения сферы такова, что w 2 R sina > g, то сила трения направлена противоположно. В общем случае ответ имеет вид: F = m cosa | g − w 2 R sina |.

I.5. На правую чашу весов, заполненную водой до краев, действует сила

F = Mg + N,

Факультет ВМиК

где M = Sh – масса воды в этой чаше, N – сила давления падающих

капель дождя. Поскольку соударение капель с водой, находящейся в чаше, является неупругим, по второму закону Ньютона имеем:

∆ m × v = (N − ∆ m × g)∆ t,

время ∆ t. Отсюда

I.6. В момент, когда достигается максимальное сжатие пружины, скорость бруска обращается в нуль. По закону изменения механической энергии имеем:

Решения задач

Объединяя записанные выражения, получаем квадратное уравнение относительно ∆ l:

Поскольку по условию задачи предоставленный самому себе брусок

2 k (H − l sina) ü

I.7. Шарики находятся в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рис. 82, где

mg – модуль силы тяжести. В проекции на гори-

зонтальное и вертикальное направления условия равновесия шариков имеют вид:

Отсюда вытекают следующие равенства:

Факультет ВМиК

I.9. Стакан будет находиться под водой в безразличном равновесии при выполнении условия

mg = r Vg,

Мариотта

где p = p 0+r gh – давление воды на глубине h. Объединяя записанные выражения, находим

При меньшей глубине погружения предоставленный самому себе ста-кан будет всплывать. Наоборот, при увеличении глубины погружения стакан начнет опускаться вниз, так как с ростом давления воды вытал-

*I.9. Пусть p – давление, создаваемое насосом, v – скорость воды в шланге. Согласно уравнению Бернулли,

Решения задач

I.10. По закону сложения ускорений ускорение свободного падения относительно системы отсчета, связанной с вагоном,

g 1 = g − a. Из рис. 83 видно, что модуль этого ускоре-

мальный угол отклонения маятника от вертикали составит 2a. Как

видно из рисунка, h = l (1− cos2a) = 2 l sin2 a. Используя формулу